parameterform -> koordinatenform

08.06.2007, 21:44

Dorika

parameterform -> koordinatenform

Hey,

$\begin{eqnarray*} E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 7 \end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} -9 \\ 0 \\ 12 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} 16 \\ 0 \\ 12 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

das soll nun in die Koordianatenform gebracht werden, allerdings komme ich immer auf

$\begin{eqnarray*} 12x_1+9x_3=-51+300s \end{eqnarray*}$

hat jemand eine Idee, wo der Fehler liegen könnte?

$\begin{eqnarray*} A(1/-2/7).....B(-8/-2/5).....C(17/-2/5)......D(1/6/-7) \end{eqnarray*}$

und ich habe folgende als Ausgangsgleichung gewählt:

$\begin{eqnarray*} E:\vec{x}=\vec{OA}+r\vec{AB}+s\vec{AC} \end{eqnarray*}$

danke!

08.06.2007, 22:16

system-agent

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du willst also eine ebene, die durch die angegebenen punkte geht? da es vier punkte sind tut sich gleich die frage auf ob das auch geht, denn bereits 3 punkte legen eine ebene fest...

deine idee ist bisher korrekt, aber es ist:
$\begin{eqnarray*} v:=b-a=(-8-1,-2-(-2),5-7)=(-9,0,-2)\neq(-9,0,12) \end{eqnarray*}$
und genauso für
$\begin{eqnarray*} w:=c-a=(17-1,-2-(-2),5-7)=(16,0,-2)\neq(16,0,12) \end{eqnarray*}$ .

nun kannst du sehr einfach die koordinatengleichung bestimmen, indem du den normalenvektor verwendest:
$\begin{eqnarray*} v\times w=n\in\mathbb R^3 \end{eqnarray*}$

08.06.2007, 22:28

Dorika

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ja, tut mir leid, die Ebene sollte nur durch 3 punkte gehen, mit dem 4. bildet sie eine pyramide.

aber, verdammt, ich habe unten bei punkt $\begin{eqnarray*} A(1/-2-7) \end{eqnarray*}$ einen tippfehler, hatte das - bei der 7 verloren. allerdings habe ich die vektoren schon 1000 und 1mal druchgerechnet.

08.06.2007, 22:34

system-agent

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was erhälst du denn beim vektorprodukt?

08.06.2007, 22:42

Dorika

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sagt mir leider nichts, kenne nur das skalarprodukt.... magst du es mir erklären? smile

08.06.2007, 22:45

system-agent

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das kann wikipedia besser... Augenzwinkern

in dem fall musst du das LGS
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 7 \end{pmatrix} +r\cdot\begin{pmatrix} -9 \\ 0 \\ 12 \end{pmatrix} +s\cdot\begin{pmatrix} 16 \\ 0 \\ 12 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ lösen.

edit:
natürlich nicht nach $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ , sondern du musst die drei gleichungen so miteinander addieren und mit konstanten multiplizieren, so dass $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ am ende nicht mehr vorkommen

08.06.2007, 22:52

Dorika

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ja, genau da liegt der hund begraben.

$\begin{eqnarray*} x_1=1-9r+16s \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=-2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3=-7+12r+12s \end{eqnarray*}$

dann $\begin{eqnarray*} 12\cdot I+9\cdot III \end{eqnarray*}$ , sodass ich auf

$\begin{eqnarray*} 12x_1+9x_3=-51+300s \end{eqnarray*}$ komme

09.06.2007, 00:36

Bjoern1982

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Merke dir am besten, dass du immer dann fertig bist, sobald du eine Gleichung aufgestellt hast, in der nur noch Zahlen und Koordinaten vorkommen, also keine Parameter mehr auftauchen.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x_1=1-9r+16s \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=-2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3=-7+12r+12s \end{eqnarray*}$

Wie man sieht ist das hier schon automatisch in der zweiten Zeile des LGS erfüllt. Eine Ebenengleichung in Koordinatenform lautet demnach einfach x2=-2

Gruß Björn

09.06.2007, 23:01

Dorika

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Danke für deine Antwort, Björn. Tanzen

lustiges ding, diese ebene..

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