Verteilungsfunktion und Dichte von Linearkombination von Zufallsvariable

08.06.2007, 21:52	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Verteilungsfunktion und Dichte von Linearkombination von Zufallsvariable Hi... ich komme an folgendem Punkt nicht weiter: Seien $\begin{eqnarray} X_1,...,X_n \end{eqnarray}$ unabhängige auf $\begin{eqnarray} [0,a] \end{eqnarray}$ gleichverteilte Zufallsvariablen. Sei $\begin{eqnarray} M_n:= max(X_1,...,X_n) \end{eqnarray}$ . Zeige, dass für $\begin{eqnarray} n \to \infty \end{eqnarray}$ die Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray} Y_n := n(a - M_n) \end{eqnarray}$ gegen die Verteilungsfunktion einer Exponentialverteilung zum Parameter a konvergiert. Dazu erstmal ein paar Vorüberlegungen: ( musste man vorher lösen ) Wenn $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ eine Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ und eine Dichte $\begin{eqnarray} f = F' \end{eqnarray}$ hat, dann gilt für $\begin{eqnarray} Y = aX + b,~~ a,b \in \mathbb R \end{eqnarray}$ Verteilungsfunktion: $\begin{eqnarray} F_Y(x) = F_X \left( \frac{x-b}{a} \right) \end{eqnarray}$ Dichte: $\begin{eqnarray} f_Y(x) = \frac{1}{a} f_X \left( \frac{x-b}{a} \right) \end{eqnarray}$ hoffe das stimmt erstmal... Weiterhin, wenn $\begin{eqnarray} X_1,...,X_n \end{eqnarray}$ identisch verteilte Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray} F_X \end{eqnarray}$ und Dichte $\begin{eqnarray} f_X \end{eqnarray}$ sind, dann gilt für $\begin{eqnarray} M_n := \max (X_1,...,X_n) \end{eqnarray}$ Verteilungsfunktion: $\begin{eqnarray} F_{M_n}(k) = \big( F_X(k) \big) ^n \end{eqnarray}$ Dichte: $\begin{eqnarray} f_{M_n}(k) = n \big( F_X(k) \big)^{n-1}f_X(k) \end{eqnarray}$ stimmt das erstmal - weil sonst muss ich ja gar nicht weiterrechnen...
08.06.2007, 21:57	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt alles - mit einer kleinen Einschränkung bei der linearen Transformation $\begin{eqnarray} X=aX+b \end{eqnarray}$ : Die genannten Formeln für Verteilungsfunktion und Dichte stimmen nicht für alle $\begin{eqnarray} a\in\mathbb{R} \end{eqnarray}$ , sondern "nur" für $\begin{eqnarray} a>0 \end{eqnarray}$ .
09.06.2007, 00:10	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
gut - das ist erstmal ein Anfang... jetzt fehlt also nur noch die Aufgabe, an der ich nicht weiterkomme... in diesem Fall sind die Zufallsvariablen ja gleichmäßig verteilt... d.h. für $\begin{eqnarray} M_n \end{eqnarray}$ gilt erstmal: Dichte: $\begin{eqnarray} f_{M_n}(x) = 1 _{[0,a]}(x) n a^{-n}x^{n-1} \end{eqnarray}$ Verteilungsfunktion: $\begin{eqnarray} F_{M_n} (x) = \begin{cases} 0 \text{ für } x \leq 0 \\ \left( \frac{x}{a} \right) ^n \text{ für } 0 < x < a \\ 1 \text{ für } x \geq a \end{cases} \end{eqnarray}$ aber mit deiner Bemerkung, dass meine Formeln nur für a>0 gelten sehe ich vielleicht doch den Lösungsweg. Die 1, die in der Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung steht, kommt weil ich, wenn ich durch negatives a teile das Gegenereignis betrachten muss, also: $\begin{eqnarray} F_Y(x) = 1 - F_X \left( \frac{x-b}{a} \right) \end{eqnarray}$ aber beim Versuch $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} F_{M_n}\left( a - \frac{x}{n}\right) \end{eqnarray}$ zu berechnen bin ich auf $\begin{eqnarray} e^{-\frac{x}{a}} \end{eqnarray}$ gekommen. das müsste ja dann falsch sein... ( wobei das a hier wieder die rechte Grenze des Intervalls sein soll )
09.06.2007, 08:28	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Mal ganz langsam: Es ist $\begin{eqnarray} F_{Y_n}(x) = P(Y_n \leq x) = P(n(a-M_n) \leq x) = P\left( M_n \geq a-\frac{x}{n} \right) = 1-F_{M_n}\left(a-\frac{x}{n}\right) \end{eqnarray}$ , richtig. Jetzt für $\begin{eqnarray} 0<x<an \end{eqnarray}$ dein Ergebnis von oben eingesetzt ergibt $\begin{eqnarray} F_{Y_n}(x) = 1-\left(1-\frac{x}{an}\right)^n \end{eqnarray}$ . Und dann den Grenzwert für $\begin{eqnarray} n\to\infty \end{eqnarray}$ gebildet erhält man schließlich für alle $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim\limits_{n\to\infty} F_{Y_n}(x) = 1-\lim\limits_{n\to\infty} \left(1-\frac{x}{an}\right)^n = 1-\exp\left(-\frac{x}{a}\right) \end{eqnarray}$ , ist doch alles Ok.
09.06.2007, 08:50	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
aber ist diese Verteilung nicht zum Parameter $\begin{eqnarray} \frac{1}{a} \end{eqnarray}$ ? dann ist vielleicht die Aufgabe falsch gestellt, weil ich soll ja zeigen, dass die Verteilung zum Parameter a ist.
09.06.2007, 09:12	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, das meinst du. Ja, dann ist die Aufgabe wohl falsch gestellt.
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09.06.2007, 09:38	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
dankeschön!

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