| 18.01.2005, 12:28 |
hallo |
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Körper
Ich habe ein kleines Verständnisproblem mit algebraischen Strukturen.
Sind Körper automatisch faktoriell? Eigentlich kann man das nicht voraussetzen oder? Danke für die Hilfe. |
| 18.01.2005, 13:40 |
Leopold |
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Meine Antwort wäre: Ja, ein Körper ist faktoriell. Allerdings ist der Begriff nur in kommutativen Ringen von Interesse, die keine Körper sind. Denn was heißt "faktoriell"? Daß man bis auf Einheiten und die Reihenfolge der Faktoren jedes Element ungleich 0 eindeutig als Produkt irreduzibler Elemente des Ringes darstellen kann. Nun besitzt ein Körper aber überhaupt keine irreduziblen Elemente und jedes Element ungleich 0 ist eine Einheit. Das Produkt der irreduziblen Elemente ist also das leere Produkt und daher gemäß Konvention 1. Verbleibt die Einheit als Vorfaktor. Das paßt alles mit der Definition eines faktoriellen Ringes zusammen. Aber es ist natürlich schon ein bißchen sophistisch, einen Körper als faktoriell zu bezeichnen. Ich will auch nicht ausschließen, daß gewisse Mathematiker daher einen faktoriellen Ring definieren könnten als einen Ring, in dem die eindeutige Zerlegbarkeit in irreduzible Elemente gilt und der kein Körper ist. Da müßte man im Zweifel im Lehrbuch bei der entsprechenden Definition nachschauen. |
| 18.01.2005, 15:33 |
gast |
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Das klingt einleuchtend, in dem Fall würd ich sagen das Körper nicht faktoriell sind, da sonst primelemente existieren müssten, was aber nicht der Fall ist. |
