Traktrix-Aufgabe

09.06.2007, 18:02

Gargy

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Traktrix-Aufgabe

Hallo, ich schon wieder...

Erstmal die Aufgabe:

Die Kurve C mit Parameterdartellung:

$\begin{eqnarray*} \gamma (t) = \begin{pmatrix} sin t \\ cos t+ ln (tan(t/2)) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} t \in(0, \pi) \end{eqnarray*}$

heißt Traktrix. Zeige, dass für jede Tangente an die Kurve C in einem Punkt mit Parameterwert $\begin{eqnarray*} t \in ( \pi/2, \pi) \end{eqnarray*}$ der Abstand zwischen dem Tangentenberührpunkt und dem Schnittpunkt der Tangente mit der y-Achse gleich 1 ist.

Ähm, also ich kann jetzt nur eine Aussage über die Tangente machen. Und zwar ist ja die Tangente gleich der ersten Ableitung, also:

$\begin{eqnarray*} T= \lambda \cdot \gamma'(t) \end{eqnarray*}$ für ein t im angebenen Intervall.

In der Übung haben wir allerdings folgenden Weg eingeschlagen:

$\begin{eqnarray*} T= \gamma (t)+ \lambda \cdot \gamma'(t) \end{eqnarray*}$

Meine erste Frage wäre, warum das $\begin{eqnarray*} \gamma (t) \end{eqnarray*}$ dort auftauchen muss. Durch die erste Ableitung multipliziert mit einem Skalar $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ist doch die Tangente schon eindeutig beschrieben. Oder nicht?

09.06.2007, 18:46

Gargy

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Okay, verstanden:

$\begin{eqnarray*} \gamma (t) \end{eqnarray*}$ gibt mir den Punkt auf der Kurve und mit dem Rest krieg ich dann die Tangente in diesem Punkt in beliebiger Länge.

So, aber für den Rest der Aufgabe, brauche ich doch Hilfe. Ich soll ja zeigen, dass zwischen Berührungspunkt Tangente-Kurve und Schnittpunkt Tangente/y-Achse der Abstand immer 1 ist.

Wie mache ich das?

Also, die Tangente schneidet die y-Achse, wenn $\begin{eqnarray*} \gamma (t) =0 \end{eqnarray*}$ (oder doch nicht? Ich kann mir das gerade nicht vorstellen verwirrt

verwirrt

)

Mag vielleicht mal jemadn drauf gucken? Ihr könnt mir doch bestimmt helfen!

09.06.2007, 18:58

WebFritzi

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Zitat:

Original von Gargy
Also, die Tangente schneidet die y-Achse, wenn $\begin{eqnarray*} \gamma (t) =0 \end{eqnarray*}$ (oder doch nicht? Ich kann mir das gerade nicht vorstellen ?

Also bitte... Welche Koordinaten hat wohl ein Punkt auf der y-Achse?

09.06.2007, 19:31

Gargy

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(0,y)?

Aber... ich merk schon, ich steh da auf der Leitung... aber warum muss dann das $\begin{eqnarray*} \gamma(t) \end{eqnarray*}$ in der x-Komponente null sein? Ist mein $\begin{eqnarray*} \gamma(t) \end{eqnarray*}$ in t nicht der Punkt in dem die Tangente den Graphen schneidet?

O Gott, ich kapier hier gar nix.

09.06.2007, 19:43

WebFritzi

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Zitat:

Original von Gargy
Ist mein $\begin{eqnarray*} \gamma(t) \end{eqnarray*}$ in t nicht der Punkt in dem die Tangente den Graphen schneidet?

Ja, genau. Von daher kapierst du schon etwas, oder? So, und jetzt die Gleichung der Tangente hinschreiben und schauen, wo sie die y-Achse schneidet. Das ist doch erstmal nicht so schwierig.

09.06.2007, 21:30

Gargy

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Jetzt hab ich's (aber ob's was bringt?)

$\begin{eqnarray*} T(\lambda) = \begin{pmatrix} 0 \\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} sin (t) \\ cos (t) + ln (tan(t/2)) \end{pmatrix}+ \lambda \cdot \begin{pmatrix} cos (t) \\ -sin(t)+ \frac{1}{tan(t/2)} \cdot cos²(t) \cdot 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=sin (t)+ \lambda \cdot cos(t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda = \frac{-sin (t)}{cos(t)}=-tan(t) \end{eqnarray*}$

So, allerdings grübel ich jetzt noch, wie ich rauskriege, dass die Länge 1 ist. Ich habe erst überlegt, die Länge zu berechnen, aber dazu fehlt mir ja die obere Grenze. Ich weiß nur, dass $\begin{eqnarray*} t \in (\pi/2, \pi) \end{eqnarray*}$

Und dann dachte, hm, vielleicht ganz einfach:

$\begin{eqnarray*} T(-tan(t))- T(\lambda=?) \end{eqnarray*}$

Aber da fehlt mir ja auch etwas...

Wie also weiter rechnen? verwirrt

verwirrt

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09.06.2007, 21:56

Gargy

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Also es gilt auch noch

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(\Delta y)² + (\Delta x)²} = 1 \end{eqnarray*}$

Mit:

$\begin{eqnarray*} \Delta x=sin(t)-0=sin(t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Delta y=(cos(t)+ln(tan(t/2)))-(-tan(t) \cdot (-sin(t)+\frac{1}{tan(t/2= \cdot cos²(t) \cdot 2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Delta y=cos(t)+ln(tan(t/2))-\frac{sin²(t)}{cos(t)}- \frac{tan(t)}{2 \cdot tan(t/2) \cdot cos²(t)} \end{eqnarray*}$

09.06.2007, 22:04

Gargy

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Ach, das ist doch bestimmt alles Mist. Kann mir jemand den richtigen Weg sagen? Zumindest, was ich machen soll... Rechnen werd ich es ja selbst.

09.06.2007, 22:20

WebFritzi

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Erstmal hast du falsch abgeleitet!

Und dann verstehe ich nicht, was daran jetzt so schwer sein soll. Das lambda hast du ja ganz richtig ausgerechnet. Und jetzt sollst du |gamma(t) - T(lambda)| berechnen und zeigen, dass - zumindest für pi/2 < t < pi - gerade 1 rauskommt.

09.06.2007, 22:23

Tomtomtomtom

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OK, mal ganz langsam und Schritt für Schritt. Zuerst mal werd dir völlig darüber klar, daß du erstmal ein FESTES t wählst. Wenn es dir das einfacher macht, nenn es t_0 oder sonstwie.

Für dieses t_0 sollst du den Abstand zwischen zwei Punkten ausrechnen.

1.) Der eine Punkt ist ein Punkt auf der Kurve, und zwar der Punkt der sich ergibt, wenn du dein t_0 in die Parameterdarstellung einsetzt. Welche Koordinaten hat dieser Punkt?

2.) Für den zweiten Punkt konstruierst du zunächst die Tangente an die Kurve, und zwar in dem Kurvenpunkt den du in 1.) berechnet hast. Die Formel dazu hast du angegeben. Diese Formel gibt dir eine Parameterdarstellung der Tangente, den Parameter hast du bisher gamma genannt. Wie lautet die Parameterdarstellung der Tangente?

3.) Diese Tangente hat einen Schnittpunkt mit der y-Achse. Du hast eine Parameterdarstellung dieser Tangente. (Mal angenommen, es wäre keine Tangente, sondern irgendeine Kurve, deren Parameterdarstellung du hättest. Was müßtest du prinzipiell machen, um rauszubekommen, wo die Kurve die y-Achse schneidet?)
Wie lautet also der Schnittpunkt der Tangente mit der y-Achse?

4.) Jetzt hast du zwei Punkte gegeben, den aus 1.) und den aus 3.). Berechne den Abstand dieser beiden Punkte. (Die Formel dafür hast du ebenfalls schon erwähnt).

Wenn alles stimmt, müßte dabei genau wie gewünscht 1 herauskommen. Egal welches t_0 du am Anfang gewählt hast. Das ist dann genau die Behauptung.

10.06.2007, 13:27

Gargy

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Okay,

es bedeuten:

$\begin{eqnarray*} T_{K} \end{eqnarray*}$ Tangente-Kurve-Berührungspunkt
$\begin{eqnarray*} T_{y} \end{eqnarray*}$ Tangente-yAchse-Schnittpunkt
$\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ Tangentengleichung

1) $\begin{eqnarray*} T_{K}=\begin{pmatrix} sin(t) \\ cos(t)+ln(tan(\frac{t}{2})) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} T=\begin{pmatrix} sin(t)+ \lambda \cdot cos(t) \\ cos(t) + ln(tan(\frac{t}{2})) + \lambda (-sin(t)+ \frac{1}{tan(\frac{t}{2}) \cdot cos²(\frac{t}{2}) \cdot 2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

3) $\begin{eqnarray*} T_{y}=\begin{pmatrix} 0 \\ cos(t)+ ln(tan(\frac{t}{2})) + tan(t)\cdot sin(t)- \frac{1}{cos²(t)} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

4) $\begin{eqnarray*} (\Delta x)² + (\Delta y)² =1 \end{eqnarray*}$

d.h.

$\begin{eqnarray*} sin²(t)+ tan²(t) \cdot (sin²(t)-2) + \frac{1}{cos²(t)}=1 \end{eqnarray*}$

Weiter komme ich nicht, auch wenn's eurer Meinung nach ganz einfach ist... unglücklich

unglücklich

Wäre super, wenn ihr mir trotzdem weiter helft (obwohl ich schon keine Lust mehr auf die Aufgabe habe).

10.06.2007, 13:40

Tomtomtomtom

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Kann es sein, daß du bei 3.) tan(t) mit tan(t/2) gekürzt hast? Dann brauchst du nur noch Ausdrücke für tan(t/2) und cos^2(t/2) in irgendeiner Formelsammlung suchen, einsetzen, und die Nerven behalten Freude

Freude

10.06.2007, 13:56

WebFritzi

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Deine letzte Gleichung kann ich vom Rechnen her auch nicht nachvollziehen.

10.06.2007, 14:47

Leopold

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Nur so nebenbei: Durch Anwendung bekannter trigonometrischer Formeln und von Logarithmusgesetzen kann man die Kurve parameterfrei schreiben:

$\begin{eqnarray*} y = \pm \left( \sqrt{1 - x^2} + \ln{x} - \ln{\left( 1 + \sqrt{1 - x^2} \right)} \right) \, , \ \ 0 < x \leq 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \pm \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x} \end{eqnarray*}$

Ob es für die Rechnung hilfreich ist, weiß ich nicht.

10.06.2007, 15:26

Gargy

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Also, was habe ich gemacht. Erstmal hat WebFritzi gesagt, ich hätte falsch abgeleitet und ich deswegen habe ich es nochmal gemacht.

Ich kam folgerndermaßen auf 3)

I $\begin{eqnarray*} y=cos(t) + ln(tan(\frac{t}{2})) \end{eqnarray*}$

cos(t) lasse ich mal raus, aus den Betrachtungen und füge es am Ende wieder dazu.

Substitution 1:

II $\begin{eqnarray*} u=tan(\frac{t}{2}) \end{eqnarray*}$

Substitution 2)

III $\begin{eqnarray*} x=\frac{t}{2} \end{eqnarray*}$

Damit ist

I $\begin{eqnarray*} y=ln(u) \end{eqnarray*}$

II $\begin{eqnarray*} u=tan(x) \end{eqnarray*}$

Jetzt wird jede Gleichung abgeleitet und entsprechend der Kettenregel oder wie das heißt zusammengefügt:

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dt}= \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} \end{eqnarray*}$

D.h. (cos(t)' kommt dazu)

$\begin{eqnarray*} y' =-sin(t) + \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{cos²x} \cdot \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Dann wird zurücksubstituiert

$\begin{eqnarray*} y'=-sin(t) + \frac{1}{tan(x)} \cdot \frac{1}{cos²(\frac{t}{2})} \cdot \frac{1}{2}= -sin(t) + \frac{1}{tan(\frac{t}{2})} \cdot \frac{1}{cos²(\frac{t}{2})} \cdot \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

4) ergibt sich dann aus $\begin{eqnarray*} T(0)-T(-tan(t)) \end{eqnarray*}$ , quasi Startpunkt von T (Berührungspunkt) minus Schnittpunkt von T mit y. Am Berührungspunkt ist $\begin{eqnarray*} \lambda=0 \end{eqnarray*}$

Hm, Leopold, ich kann, glaube ich, nicht ganz nachvollziehen... Du hast sin(t) mit x substituiert, oder? Aber wo kommt dann das ln(x) her?

10.06.2007, 16:22

Leopold

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Die $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ -Darstellung ist nicht so furchtbar schwierig zu finden. Zunächst befreit man sich vom halben Argument:

$\begin{eqnarray*} \tan{\frac{t}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \cos{t}}{1+ \cos{t}}} \end{eqnarray*}$

Die Wurzel kommt als Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ vor den Logarithmus. Die dritte binomische Formel vereinfacht das Argument des Logarithmus. Der Logarithmus eines Bruches kann auseinandergezogen werden. Und dann kann man je nach Parameterwert

$\begin{eqnarray*} \cos{t} = \pm \sqrt{1 - x^2} \end{eqnarray*}$

substituieren. Das war es schon.

10.06.2007, 16:45

Gargy

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traurig

eindeutig nicht meine liga...

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