Integral von (sin(x))^2

Neue Frage »

18.01.2005, 14:12

Gats

Auf diesen Beitrag antworten »

Integral von (sin(x))^2

Wie komme ich auf das Integral von sin^2(x)?

18.01.2005, 14:14

aRo

Auf diesen Beitrag antworten »

was genau willst du denn machen?

gruß,
aRo

18.01.2005, 14:23

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integral von (sin(x))^2

Zitat:

Original von Gats
Wie komme ich auf das Integral von sin^2(x)?

Durch partielle Integration. $\begin{eqnarray*} \int \sin^2(x)dx=\int \sin(x)\cdot \sin(x)dx \end{eqnarray*}$ . Im Restintegral dann $\begin{eqnarray*} \cos^2(x)=1-\sin^2(x) \end{eqnarray*}$ setzen.

18.01.2005, 16:37

Gast

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber irgendwie hab ich dann doch am Ende immer ein sin^2, oder täusch ich mich da? Das läuft doch unendlich so weiter...

18.01.2005, 16:45

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke es geht auch ohne Partielle Integration,wenn man folgende Beziehung benutzt: sin²(x) = 0,5(1-cos 2x)

18.01.2005, 17:21

Gast

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bitte um einen Lösungsweg für partielle Integration!!
Kann mir da jemand helfen?

18.01.2005, 17:36

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \int\sin^2(x)dx=\int \sin(x)\sin(x)dx=-\sin(x)\cos(x)-\int -\cos(x)\cos(x)dx= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =-\sin(x)\cos(x)\stackrel{\text{nicht 'minus'}}{+}\int\cos^2(x)dx=-\sin(x)\cos(x)+\int 1-\sin^2(x)dx= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =-\sin(x)\cos(x)+\int 1dx -\int\sin^2(x)dx=-\sin(x)\cos(x)+x-\int\sin^2(x)dx \end{eqnarray*}$

Ich gehe mal davon aus, dass du bis hierhin gekommen bist. Du hast jetzt eine Gleichungskette. Wenn du die mittleren Schritte wegläßt, bleibt noch folgendes übrig:

$\begin{eqnarray*} \int \sin^2(x)dx=-\sin(x)\cos(x)+x-\int\sin^2(x)dx \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du das Integral auf der rechten Seite auf die linke Seite bringen. Ab jetzt ist es nur noch ein winziger Schritt. Findest du den allein?

EDIT
Nach 6 Jahren einen Tippfehler korrigiert Augenzwinkern

18.01.2005, 18:47

Gast

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!

ja klar! Also sin^2x rüberholen und die gleichung durch zwei teilen.

18.01.2005, 19:09

Morphi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau,
hab mir vor kurzem auch an dem Integral die Zähne ausgebissen ... bis ich den letzten Schritt endlich bemerkt hatte. :-)

05.02.2011, 14:44

mzh

Auf diesen Beitrag antworten »

kurze Hilfe gesucht
Hallo zusammen
Der Beitrag ist zwar schon ziemlich alt, aber nichtsdesto trotz bin ich gerade an einem Problem, dass ich damit beschreiben kann.
Im Beitrag von Calvin steht
-sin(x)cos(x) - int[-cos(x) cos(x) dx] = -sin(x)cos(x) - int[cos^2(x) dx]

Wieso ist hier "minus minus" wieder gleich "minus"??

Könnt ihr mir dazu einen Hinweis geben?

05.02.2011, 19:13

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr aufmerksam Freude

Du hast einen über 6 Jahre alten Tippfehler von mir gefunden Augenzwinkern

Es muss natürlich + heißen, was direkt im nächsten Schritt dann auch steht.

05.02.2011, 19:42

mzh

Auf diesen Beitrag antworten »

ist ja nicht wie beim Wein, der mit dem Alter besser wird Augenzwinkern

Und weiter würde mich interessieren, ob man anstatt cos(x)^2 mit 1-sin(x)^2 zu substituieren, auch cos(x)^2 nochmals partiell integrieren kann? MUSS cos(x)^2 substitutiert werden?? Besten Dank für weitere Hinweise.

05.02.2011, 19:42

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

Probiere es aus. Dann wirst du sehen, warum dich das nicht ans Ziel bringt.

05.02.2011, 19:55

mzh

Auf diesen Beitrag antworten »

Dass es mich nicht ans Ziel bringt, weiss ich. Gut, nehms zur Kenntnis, man muss substituieren und gut ist. Wieso kann ich aber schlecht erklären.

05.02.2011, 19:59

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja, viel zu erklären gibt es da nicht. Nicht immer führt ein Ansatz auch ans Ziel. In diesem fall fällt bei nochmaligem partiellen Integrieren ein Teil weg und es bleibt nur noch übrig

$\begin{eqnarray*} \int~\sin^2{x}\,\dx=\int~\sin^2{x}\,\dx \end{eqnarray*}$

Das ist etwas, was du auch ohne partielle Integration weißt.

05.02.2011, 20:05

mzh

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist ja womit ich mich gerade versuche anzufreunden. Ich würde das so sagen, nur weil ich etwas nicht umschreibe (also 1-cos(x)^2 ansetze), gelingt partielle Integration nicht?

05.02.2011, 20:08

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

In diesem speziellen Fall bringt es dich eben nicht ans Ziel.

Es gibt übrigens noch einen ganz anderen Ansatz das Integral zu lösen. Forme den ursprünglichen Integrand mit Additionstheoremen um:

$\begin{eqnarray*} \sin^2{x}=\frac{1}{2}\left(1-\cos{(2x)}\right) \end{eqnarray*}$

Dann geht es ganz ohne partielle Integration.

05.02.2011, 20:21

mzh

Auf diesen Beitrag antworten »

ja, diese Version kenne ich (braucht man auch bei integration von sin(nx)sin(mx) ). Was mich wie gesagt wundert ist die Tatsache, dass das blosse Umformen hier über "Erfolg" und "Misserfolg" entscheidet. Da findet ja in dem Sinne keine mathematische Operation statt und doch ist es entscheidend.

05.02.2011, 20:26

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

Da kommt es darauf an, was du unter "mathematischer Operation" verstehst. Es wird etwas gemacht, was rein äußerlich eine Veränderung darstellt, aber ansonsten nichts ändert. Ich sehe das ähnlich wie das Erweitern von Brüchen oder Äquivalenzumformungne bei Gleichungen.

05.02.2011, 20:28

mzh

Auf diesen Beitrag antworten »

Z.b. Ableiten wäre eine Operation, weil (sin(x))' = cos(x).
Aber in einer Umformung, a^2+b^2=c^2 <=> c^2 - b^2 = a^2 wird der Ausdruck ja an sich nicht verändert... naja, irgend eine genaue Erklärung wirds schon geben.

05.08.2011, 00:27

Cybron

Auf diesen Beitrag antworten »

Ohne diese Umformung

1-sin(x)² == cos^2(x)

konnte ich diese Aufgabe nicht lösen, da sich irgendwie alles aufgelöst hat.
Finde es ziemlich mieß. Gibt es ähnliche fälle, in Trigonometrie bin ich nicht gerade der hellste.

11.06.2012, 21:13

Svenja1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie erhält man das Ergebnis des Integrals in den Grenzen von 0 bis $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ ohne Rechnung, sondern nur durch eine Zeichnung und den trigonometrischen Pythagoras?

Also, die Kurve in den Grenzen ist ja gerade ein "Halbkreis" oberhalb der x-Achse, aber was mache ich dann um zu zeigen, dass das Ergebnis $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ist? verwirrt

Danke schon mal für Hilfe.

11.06.2012, 21:21

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst dazu das Integral

$\begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi} (\sin^2x+\cos^2x)dx \end{eqnarray*}$

auf 2 Arten berechnen und die Ergebnisse gleichsetzen...

Edit: Beachte dabei, dass

$\begin{eqnarray*} \sin(x+\pi/2)=\cos x \end{eqnarray*}$

ist und du die Integrationsgrenzen beliebig austauschen kannst, sofern das Integrationsintervall die Länge $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ hat...

11.06.2012, 21:26

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Es gilt ja auch,

$\begin{eqnarray*} sin^2x=\frac{1-cos(2x)}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos^2x=\frac{1+cos(2x)}{2} \end{eqnarray*}$

umschreiben und loslegen. Augenzwinkern

12.06.2012, 11:26

Svenja1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, danke. Aber wie zeige ich das Ergebnis anhand einer Zeichnung und ohne Rechnung?

Neue Frage »

Antworten »

Integral von (sin(x))^2

Verwandte Themen