Grenzwert alternierender Reihen

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09.06.2007, 18:34	JoJo22	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert alternierender Reihen Hallo, bei folgender Reihe soll man zeigen, dass der Grenzwert zwischen 0,3 und 0,4 liegt: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty~(-1)^{k+1} \frac{1}{k^2+1} \end{eqnarray}$ Hat jemand einen Ansatz, wie man das elegant zeigen kann?
09.06.2007, 18:41	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist eine Leibnizreihe, wo die Glieder mit ungeradem Index positiv, und die Glieder mit geradem Index negativ sind. Für die Partialsummen $\begin{eqnarray} s_n \end{eqnarray}$ und Grenzwert $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ solcher Leibnizreihen gilt $\begin{eqnarray} s_{2n} \leq s_{2n+2} \leq s \leq s_{2n+1} \leq s_{2n-1} \end{eqnarray}$ , d.h. die Partialsummen mit geradem Index nähern sich von unten, und die Partialsummen mit ungeradem Index von oben dem Grenzwert. Demnach musst du nur die Partialsummen $\begin{eqnarray} s_2,s_4,s_6,\ldots \end{eqnarray}$ berechnen bis schließlich $\begin{eqnarray} s_{2n}>0.3 \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ist. Genauso dann von oben $\begin{eqnarray} s_1,s_3,s_5,\ldots \end{eqnarray}$ bis ein $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} s_{2n+1}<0.4 \end{eqnarray}$ gefunden ist. Das war's!
09.06.2007, 19:16	niemand	Auf diesen Beitrag antworten »
Also den ersten Partialsummen nach scheint die Folge $\begin{eqnarray} \{\frac{1}{k^2+1} \} \end{eqnarray}$ monoton zu fallen: $\begin{eqnarray} a_1-a_2=0,7 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_3-a_4=0,16 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_5-a_6=0,065 \end{eqnarray}$ Aus der Ungleichung $\begin{eqnarray} \frac{1}{k^2+1} \geq \frac{1}{(k+1)^2+1} \end{eqnarray}$ ergibt sich dann auch $\begin{eqnarray} k \geq - \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ . Wie untersucht man ob $\begin{eqnarray} \{\frac{1}{k^2+1} \} \end{eqnarray}$ konvergiert?
09.06.2007, 19:21	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, beides ist an sich trivial. Die Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=x^2 \end{eqnarray}$ wächst streng monoton auf $\begin{eqnarray} [1,\infty) \end{eqnarray}$ . Und dass $\begin{eqnarray} \lim_{k\to\infty}\frac1{k^2+1}=0 \end{eqnarray}$ ist auch mehr als offensichtlich Es geht hier auch mehr um die Partialsummen. Also verlier nicht den Überblick Gruß, therisen
09.06.2007, 19:21	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
@niemand Ich dachte nicht, dass "monoton fallend gegen Null" von $\begin{eqnarray} \left( \frac{1}{k^2+1} \right)_{k=1,2,\ldots} \end{eqnarray}$ noch ein Thema ist - vorher hat es gar keinen Zweck, von Leibnizreihen zu reden... P.S.: Deine berechneten Werte sind schon etwas merkwürdig, um nicht zu sagen falsch. Zu welchem Zweck betrachtest du überhaupt diese Differenzen? EDIT: niemand = JoJo22, oder nicht, oder wie oder was - bin verwirrt...
09.06.2007, 19:27	niemand	Auf diesen Beitrag antworten »
Nee, ich hab mit der Threaderstellerin nichts zu tun. Und wenn man sich erst seit ein paar Stunden mit dem Thema beschäftigt sollte man sich vielleicht nicht gleich irgendwo einmischen - sorry.
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10.06.2007, 11:13	JoJo22	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Ich konnte die Bedingung für den Grenzwert von Leibnizreihen nirgendwo finden.
10.06.2007, 13:41	Wolfram	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert alternierender Reihen Wie man leicht sieht gilt: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k+^1}}{1+k^2}=-\frac{\pi-\sinh(\pi)}{4\sinh\left(\frac{\pi}{2}\right)\cosh\left(\frac{\pi}{2}\right)}\approx 0.363985 \end{eqnarray}$
10.06.2007, 13:58	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt, wo du es schreibst, fällt es mir wie Schuppen von den Augen.
10.06.2007, 14:09	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie konnte ich das nur übersehen.
10.06.2007, 14:22	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Gib's doch zu - du verstehst es nicht!
10.06.2007, 14:31	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt leider. Ich hab nicht die blasseste Ahnung wie man auf sowas kommt. Ich kanns noch nicht mal herleiten, jetzt wo ich es sehe. Wobei ich die Vermutung habe, daß die rechte Seite nochmal künstlich aufgeblasen würde, um einen eigentllich einfacherern Zusammenhangzu verschleiern.
10.06.2007, 14:36	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin für $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{\pi}{\sinh{\pi}} \right) \end{eqnarray}$ als Reihenwert.
10.06.2007, 14:49	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wieso nicht gleich: $\begin{eqnarray} \rm \frac{i}{4} \cdot \left[ \left( \Psi \left(1-\frac{i}{2} \right) + \Psi \left( \frac{1}{2}+\frac{i}{2} \right) \right)- \left( \Psi \left( 1+\frac{i}{2} \right)+\Psi \left( \frac{1}{2}-\frac{i}{2} \right)\right) \right] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Psi \end{eqnarray}$ ist natürlich die Polygammafunktion $\begin{eqnarray} \Psi (x) := \frac{\dd \Gamma \left(x\right) }{\Gamma(x) \dd x} \end{eqnarray}$
10.06.2007, 15:00	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Freund Lazarus! Ich rechne das nach! Und wehe dir, es stimmt nicht!
10.06.2007, 15:02	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerne Leopold Ich hoffe ich hab mich beim Tippen nirgends verdaddelt.
10.06.2007, 15:24	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwischt! Mir scheint, da gehört noch ein Minuszeichen vor den ganzen Ausdruck. Oder glaubst du vielleicht, daß wir hier modulo 2 rechnen?
10.06.2007, 15:32	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe gerade feststellen müssen das du recht hast. Hab wohl die beiden Summanden in der Klammer verdreht. Wenigstens stimmts betragsmässig. Die Aussage die ich mit dem Beitrag erziehlen wollte, ist auch eine ganz andere: Solche Darstellungen, so ästhetisch ansprechend sie sein mögen, sind keineswegs leicht zu finden, und insbesonders nicht "offentsichtlich".
10.06.2007, 15:36	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe den einleitenden Satz unseres Gastes Wolfram auch eher als ironisch aufgefaßt.

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