Kurvendiskussion - e-Funktionsschar

18.01.2005, 14:28

koRn

Kurvendiskussion - e-Funktionsschar

hi Mathevolk ,
ich hab bei folgender Funktion Probleme die Nullstellen zu bestimmen. Das komische ist , dass ich aber bei der ersten Ableitung die richtige Extremstelle heraus bekomme und sie auch übereinstimmt mit einem beliebigen Wert für die Variable . Hier erstmal die Funktion :

$\begin{eqnarray*} fk(x)=3e^{kx}+\frac{1}{2}e^{-3kx}-5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k>0 \end{eqnarray*}$

Kurvendiskussion:

- $\begin{eqnarray*} \mathbb D = \mathbb R \end{eqnarray*}$

- $\begin{eqnarray*} fk(x) \end{eqnarray*}$ besitzt keine Symmetrie

- Nullstellen ( hier meine Rechnung , die aber falsch ist ! Nur leider finde ich den Fehler nicht )

$\begin{eqnarray*} 0=3e^{kx}+\frac{1}{2}e^{-3kx}-5 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mid +5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5=3e^{kx}+\frac{1}{2}e^{-3kx} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mid ln \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln(5)=ln(3)+kx+ln(\frac{1}{2})-3kx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln(5)=ln(3)+kx+ln(1)-ln(2)-3kx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln(\frac{10}{3})=-2kx \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mid *\frac{1}{-2k} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{ln(\frac{10}{3})}{-2k}=x \end{eqnarray*}$

Wenn ich beispielsweise $\begin{eqnarray*} k=\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ einsetze , bekomme ich eine Nullstelle bei etwa -2,40 . Nur die Funktion besitzt bei diesem k genau zwei Nullstellen . Leider sehe ich da aber keinen quadratischen Bezug , denn ich besitze ja nur lineare Faktoren in meiner Rechnung .

- Schnittpunkt mit der Y-Achse

$\begin{eqnarray*} S(0|-1,5) \end{eqnarray*}$

- Verhalten für $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ unendlich

Jeweils gegen plus unendlich. Folglich muss diese Funktion eine Extremstelle besitzen , die ein Minimum sein muss.

- Ableitungen

$\begin{eqnarray*} f'k(x)=3ke^{kx}-\frac{3k}{2}e^{-3kx} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''k(x)=3k^2e^{kx}+\frac{9k^2}{2}e^{-3kx} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''k(x)=3k^3e^{kx}-\frac{27k^3}{2}e^{-3kx} \end{eqnarray*}$

- Extremstellen

$\begin{eqnarray*} f'k(x)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=3ke^{kx}-\frac{3k}{2}e^{-3kx} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mid -\frac{3k}{2}e^{-3kx} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{3k}{2}e^{-3kx}=3ke^{kx} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mid ln \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln(\frac{3k}{2})-3kx=ln(3k)+kx \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mid -ln(3k) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln(\frac{1}{2})=4kx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -\frac{ln(2)}{4k}=x \end{eqnarray*}$
Für $\begin{eqnarray*} k=\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ bekomme ich die richtige Extremstelle heraus. Mein Problem liegt also nur bei $\begin{eqnarray*} fk(x) \end{eqnarray*}$ .

Hoffe auf konstruktive Kritik Wink

18.01.2005, 14:40

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kurvendiskussion - e-Funktionsschar

Zitat:

Original von koRn
- Nullstellen ( hier meine Rechnung , die aber falsch ist ! Nur leider finde ich den Fehler nicht )

$\begin{eqnarray*} 0=3e^{kx}+\frac{1}{2}e^{-3kx}-5 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mid +5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5=3e^{kx}+\frac{1}{2}e^{-3kx} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mid ln \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln(5)=ln(3)+kx+ln(\frac{1}{2})-3kx \end{eqnarray*}$

HALT!!! Du darfst nicht den ln auf diese Weise aus einer Summe ziehen!!!

18.01.2005, 14:44

koRn

Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso ? Stimmt doch alles überein mit den Gesetzen , oder nicht !? verwirrt

18.01.2005, 14:48

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

dass ln(a + b) = ln(a) + ln(b) wäre, ist mir neu. Augenzwinkern

18.01.2005, 14:53

koRn

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht habe ich Tomaten vor den Augen , aber dies habe ich doch nicht angewendet . Mir ist schon klar , dass ln(a)+ln(b) = ln (a*b) ist ... verwirrt

Aber kommst du auf zwei Nullstellen . Ln Gesetze jetzt hin oder her , ich sehe da keinen quadratischen Faktor ... allet nur linear verwirrt

18.01.2005, 14:55

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kurvendiskussion - e-Funktionsschar
$\begin{eqnarray*} 5=3e^{kx}+\frac{1}{2}e^{-3kx} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mid ln \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln(5) = ln(3e^{kx}+\frac{1}{2}e^{-3kx}) \end{eqnarray*}$
jetzt zeig mir mal, wie du die Summe auseinandergezogen hast!

18.01.2005, 15:02

koRn

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt sehe ich meinen Fehler Freude

Danke !

Nur wie komme ich da weiter ? Da steh ich jetzt vor ne Problem , weil ich die e-Funktionen weder zusammenfassen kann , noch sie mit dem ln vereinfachen kann. geschockt

18.01.2005, 15:29

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

vielleicht geht was mit der Substitution z = e^(kx)

19.01.2005, 23:32

koRn

Auf diesen Beitrag antworten »

Komme mit der Substitution nicht weiter verwirrt

Hier meine Rechnung :

$\begin{eqnarray*} 0=3e^{kx}+\frac{1}{2}e^{-3kx}-5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z=e^{zk} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=3z+\frac{1}{2}z^{-3}-5 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mid *z^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=3z^4-5z^3+\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Jetzt wäre Polynomdivision angesagt , aber da bekomme ich keine Nullstelle raus . Welche Nährungsvariante kann man da anwenden , um die Nullstellen zu berechnen . Leider kenne ich zu Zeit keins unglücklich

19.01.2005, 23:50

etzwane

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kurvendiskussion - e-Funktionsschar
z.B. ein graphisches Lösungsverfahren:

Und jetzt eins der Intervalle immer mehr eingrenzen:

Neue Frage »

Antworten »

Kurvendiskussion - e-Funktionsschar

Verwandte Themen