Aufgabe zur Differenzierbarkeit |
| 06.01.2004, 18:53 | Gast | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Aufgabe zur Differenzierbarkeit habt ihr ne Ahnung wie man folgende Aufgabe lösen könnte? Ist wichtig für die nächste Klausur! Gib eine geometrische Begründung für folgenden Satz: f ist in ]a,b[ diff'bar und in [a,b] stetig. Dann existiert mindestens ein c zwischen a und b, so dass : (f(b)-f(a))/(b-a)=f'(c) Besten Dank |
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| 06.01.2004, 20:00 | epikur | Auf diesen Beitrag antworten » |
Geometrisch ? Hmm. Eigentlich folgt das aus dem Zwischenwertsatz und dem Hauptsatz der Differential und Integralrechnung. Na vielleicht könnte man das folgendermassen interpretieren: (Ich muss eine kleine Zusatzvorraussetzung machen ohne die der Satz meines Wissens sowieso falsch ist: Sei f in ]a,b[ stetig diffbar.) [f(b) - f(a)] / [b-a] ist der Anstieg m einer Geraden g durch f(a) und f(b). Es gilt: f(a) = g(a). Angenommen f'(c) < m für alle c in ]a,b[, also f hat in jedem Punkt einen kleineren Anstieg als g. Dann liegt aber, da f stetig ist f(c) immer echt unterhalb g, folglich kann f(b) nicht erreicht werden. Analog folgt: auch f'(c) > m für alle c in ]a,b[ ist falsch. Also gilt entweder für ein c das f'(c) = m oder aber es gibt ein c1 so das f'(c1) > m und f'(c2) < m. Dann folgt aber aus dem Zwischenwertsatz (oder auch: f' ist stetig, also eine "durchgezogene" Linie, muss als g'(x) = m schneiden), das ein c existiert so das f'(c) = m. |
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| 09.01.2004, 10:58 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich glaube auch, dass stetige Differnzierbarkeit Voraussetzung für diesen Satz ist. Ist übrigens der Mittelwertsatz der Differentialrechnung. Gruß vom Ben |
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