Determinante einer Matrix

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kospe Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante einer Matrix
Hi, ich soll die Detrminante zu folgender Matrix berechnen. Ich vermute es müsste rauskommen (Hab es für n=2;3,;4) ausprobiert. Wie kann ich jetz aber die Determinante allgemein ausrechnen? Wahrscheinlich über Induktion... Ich versuche es da bis jetzt immer mit dem Entwicklungssatz nach der letzten Zeile aber irgendwie komm ich da nich so richtig vorwärts. Hat jemand n Tip für mich?

JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

hast schon mal versucht die matrix erst zu vereinfachen, bevor du entwickelst?
1. zeile *(-1) auf die 2.,3..... zeile draufaddieren, um unten eine nullerkette zu bekommen!
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante einer Matrix
Mit vollständiger Induktion funktioniert das auch. Subtrahiere beim Induktionsschritt von der letzten Zeile das -fache der vorletzten Zeile. Damit bekommst du jede Menge Nuller in der letzten Zeile, nach der du dann entwickeln kannst.

EDIT @LOED
Jetzt muß ich doch nochmal fragen. Dein Ansatz geht ja nicht über Induktion. Wäre die Lösung damit vollständig?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

öhm, ich habe meinen ansatz gar nicht groß weitergedacht....
ich wollte damit nur vermitteln, was oft ein guter ansatz ist, so etwas zu lösen (nämlich erst mal nuller zu erzeugen, statt sofort loszuentwickeln).
mit etwas glück kommt da anschließend etwas raus, das man leichter weiterverarbeiten kann 8evt. dann auch mit induktion).
und da war obiges sofort meine erste idee....
kann sein, dass mein weg total ins irre führt....

mfg jochen


edit: hehe, mein weg ist so gut, wie ich gehofft hatte.....
man bekommt eine ziemlich einfache matrix, nachdem man die erste spalte von den anderen abgezogen hat.
und zwar -n für gerade n und n für ungerade n. <-- da meine ich natürlich die determinate ist (-)n, nicht die matrix [edit2]
alles klar?
kospe Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, LOED das iss ja echt einfach so... Vielen Dank!!
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

postest du noch der vollständigkeit halber die letzten zwischenschritte?
 
 
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

@LOED

dass der Ansatz eine schnelle Lösung bringt, bezweifel ich nicht. Für mich war nur die Frage, ob das als Nachweis ausreicht. Wenn ich mich richtig erinnere, wurde von uns bei solchen Aufgaben immer ein Nachweis per Induktion verlangt.

Und da ich immer dazu neige, eher ein bißchen zu viel nachzuweisen, würde mich mal interessieren ob und warum das so ausreicht.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

naja, das einzige problem sind diese pünktchenangaben, die immer irgendwie schwammig sind.....
für den beweis an sich sehe ich aber keine probleme auf die art und weise....

mfg jochen


edit:
Zitat:
warum das so ausreicht

meine gegenfrage: warum meinst du denn, dass das nicht reicht?
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Eben wegen den Pünktchenangaben bin ich mir da nie so sicher. Ich habe immer das Gefühl, dass ich eventuelle Unregelmäßigkeiten übersehen haben könnte. Übertrieben gesagt ist für mich im Laufe der Zeit die Aussage "für alle natürlichen n gilt" quasi zu einem Synonym für "vollständige Induktion" geworden.

Deswegen nutze ich im Zweifel Indunktion. Und ich zweifel oft Augenzwinkern
kospe Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, die nächsten 2 Zwischenschritte:

Nach deiner Zeilentransformation, benutze ich den Entwicklungssatz für Determinanten nach der n-ten Spalte, dann wird alles 0 bis auf die Determinante von der Matrix wo man die erste Zeile und die letzte Spalte streicht. Das ist dann netterweise eine obere Dreiecksmatrix, die auf der Diagonalen nur Einsen hat. Diese Determinante ist dann also 1. Das muss man dann noch mit n multiplizieren. Das Vorzeichen hängt dann von (-1)^(n+1) ab.
Dann ist die Lösung also: (-1)^(n+1)*n

Dann vielen Dank nochmal...
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