lim und limsup

10.06.2007, 13:01	bluemchen	Auf diesen Beitrag antworten »
lim und limsup hallo zusammen, ich verstehe irgendwie denn unterschied zwischen dem limes und dem limes superior nicht. also ich habe Mengenfolge: $\begin{eqnarray} B_n = \bigcup _{m\geq n} A_m \end{eqnarray}$ Dies ist ja eine monoton fallende folge. Mit $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ bezeichnen wir einfach ein mass (spielt be meiner frage keine grosse rolle..glaub ich) Meine Frage ist nun einfach weshalb diese gleichung gilt: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \mu(B_n) = \lim_{n \to \infty }sup \quad \mu(B_n) \end{eqnarray}$ Also weshalb ich den limes durch dem limes sup ersetzen kann. (meiner meinung nach ist der limsup einfach der grösste HP wenn es mehrere gibt. Ist dann einfach diese folge beschränkt und monoton fallend, also konvergent und deshalb gibt es nur eine Hp, also lim=limsup oder weshalb ist das so?) vielen dank schon mal
10.06.2007, 16:04	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (B_n)_{n=1,2,\ldots} \end{eqnarray}$ ist eine monoton fallende Mengenfolge. Demnach ist $\begin{eqnarray} (\mu(B_n))_{n=1,2,\ldots} \end{eqnarray}$ eine monoton fallende Folge reeller Zahlen, die zudem nach unten natürlich durch den Wert Null beschränkt ist. Also konvergiert diese reelle Folge! Und wenn sie konvergiert, dann müssen Limes Superior und Limes Inferior existieren und gleich dem Grenzwert der Folge sein.
10.06.2007, 16:21	bluemchen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lim und limsup ok, so hab ich mir das auch etwa vorgestellt. vielen lieben dank.
10.06.2007, 16:25	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, ich merke grad noch, dass $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ bei dir ein beliebiges (also nicht notwendig endliches) Maß ist. Also ist noch der Fall $\begin{eqnarray} \lim\limits_{n\to\infty} \mu(B_n) = +\infty \end{eqnarray}$ durchaus möglich und zu betrachten. Aber auch in dem Fall haut die Gleichheitsaussage hin.
10.06.2007, 16:28	bluemchen	Auf diesen Beitrag antworten »
ja das mit dem unendlich hab ich mir auch überlegt und auch gedacht dass das dann auch geht...
10.06.2007, 18:37	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Da es hier hauptsächlich um Maßtheorie geht ... *verschoben*
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10.06.2007, 20:32	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Das erinnert mich an das Gezerre zu meinen Uni-Zeiten: Da haben sich die Analysis- und Stochastik-Professoren immer miteinander gestritten, wer denn nun die Maßtheorie lesen darf - am Ende der Kompromiss: Alternierend von Jahr zu Jahr...
10.06.2007, 20:40	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei uns ist den Analytikern vergönnt Maßtheorie zu lesen.

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