Kreis durch den Ursprung

10.06.2007, 13:40

Gargy

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Kreis durch den Ursprung

Noch eine Frage von mir...

Zeige, dass durch die Polarkoordinaten-Gleichung $\begin{eqnarray*} r=2asin(\phi)+2b cos(\phi) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb R , (a,b) \neq (0,0) \end{eqnarray*}$ ein Kreis durch den Koordinatenursprung beschrieben wird und bestimme dessen Mittelpunkt und Radius.

Ich habe in dem Bildchen mal das eingezeichnet, was mir als nahrliegend erschien. Irgendwie ist mir klar, dass ich den Radius bekomme, wenn ich den größten Abstand vom Ursprung zu einem Punkt auf dem Kreis berechnen kann. Ich sollte auch berechnen können, an welcher Stelle die x-Achse geschnitten wird. Aber irgendwie komme ich mit der Gleichung nicht hin... versteh gar nicht, wie ich da x und y beschreiben kann.

10.06.2007, 13:51

WebFritzi

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RE: Kreis durch den Ursprung

Zitat:

Original von Gargy
Aber irgendwie komme ich mit der Gleichung nicht hin... versteh gar nicht, wie ich da x und y beschreiben kann.

Ich auch nicht. Ich sehe auch keine Polarkoordinaten.

10.06.2007, 14:21

Orakel

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RE: Kreis durch den Ursprung
wenn du die funktion mal mit z.B. mathematica zeichnen lässt, dann wirst du sehen, dass da alles andere, als ein kreis rauskommt.

ergo -> fehler in aufgabenstellung oder so!

10.06.2007, 15:28

Gargy

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Ich hab's schon graphisch dargestellt... kam eine Überlagerung von Sinus und Kosinus raus. Na gut, dann bleibt die Aufgabe erstmal liegen. Vielen Dank!

10.06.2007, 15:39

Leopold

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Doch, das gibt einen Kreis.

10.06.2007, 15:41

Gargy

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aha, wie?

$\begin{eqnarray*} r=f(\phi) \end{eqnarray*}$ und im polarkoordinatensystem auftragen?

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10.06.2007, 16:03

Leopold

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Du zeichnest vom Ursprung aus einen Strahl, der zur positiv gerichteten $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse in einem Winkel $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ steht (übliche Orientierung). Und auf diesem Strahl trägst du vom Ursprung aus den Radius $\begin{eqnarray*} r = f(\varphi) \end{eqnarray*}$ ab. Das machst du für alle Winkel $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ . Dann erhältst du einen Kreis.

10.06.2007, 16:43

Gargy

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Hm, aber dann wäre die Aufgabe ja schon gelöst. Mittelpunktskoordinaten sind dann (0,0) und Radius wäre die Formel selbst... Meinste?

10.06.2007, 18:17

Orakel

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hmmm, ok...leopold hat recht. multipliziere deine gleichung mit r. dann gilt

$\begin{eqnarray*} x^2+y^2=r^2=2a y+2b x \end{eqnarray*}$

das ist äquivalent zu

$\begin{eqnarray*} (x-b)^2+(y-a)^2=a^2+b^2 \end{eqnarray*}$

sieht man mit quadratischer ergänzung! das heißt du hast einen kreis mit mittelpunkt (b,a) und radius $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2+b^2} \end{eqnarray*}$

10.06.2007, 18:49

Gargy

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langsaaaaam, für einen Dummen, bitte!

Also, die erste Formel verstehe ich fast, bis auf alles was rechts vom = steht. Und die 2.... hm, wie hast du das umgestellt.

Kannst du das nochmal kurz erklären, bitte? Hilfe

Hilfe

10.06.2007, 19:26

Leopold

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$\begin{eqnarray*} x = r \cos{t} \, , \ \ y = r \sin{t} \end{eqnarray*}$

Hilft das?

Im übrigen kannst du notwendige Bedingungen auch über eine Kombination geometrischer und arithmetischer Argumente erhalten. Unterstellt, es handelt sich um einen Kreis durch $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ , so kannst du durch Einsetzen von $\begin{eqnarray*} t = 0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} t = \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ in die Polardarstellung die Schnittpunkte $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ mit der $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ - bzw. $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Achse bekommen. Jetzt hast du drei Punkte des Kreises: $\begin{eqnarray*} O,X,Y \end{eqnarray*}$ , die auch noch besonders hübsch im Koordinatensystem liegen. Die Koordinatenachsen schneiden aus dem Kreis zwei Sehnen aus. Deren Mittelsenkrechte müssen sich im Mittelpunkt des Kreises schneiden usw.

13.06.2007, 08:40

Gargy

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unglücklich

Ich versteh das nicht. Hab wirklich lange dran rumgerechnet, aber irgendwie kommt da nur Mist raus. Kann das bitte jemand in vielleicht ein oder 2 schritten mehr ein bisschen erklären?

13.06.2007, 08:42

Dual Space

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Ok ... multipliziere die gegebene Gleichung mit r und poste dein Ergebnis.

14.06.2007, 15:16

Gargy

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$\begin{eqnarray*} r²=2arsin(\phi)+2brcos(\phi) \end{eqnarray*}$

14.06.2007, 16:37

Orakel

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jetzt setze $\begin{eqnarray*} x=r\cos(\phi) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=r\sin(\phi) \end{eqnarray*}$ und mache quadratische ergänzung!

15.06.2007, 08:51

Gargy

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Ach so, na, das hat jez aber gedauert. r ist nicht der Radius - das war mir klar, aber r ist die Funktion, die mir den Kreis malt. Abhängig vom Winkel ist r mal größer mal kleiner. Wenn r am größten ist, habe ich den Radius. Aber erstmal da hinkommen...

$\begin{eqnarray*} r²=2ay+2bx \end{eqnarray*}$

Was ist quadratische Ergänzung?

15.06.2007, 11:26

WebFritzi

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Quadratische Ergänzung:

$\begin{eqnarray*} x^2 + bx + c = (x + \frac{b}{2})^2 - \frac{b^2}{4} + c \end{eqnarray*}$

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