Konvergenz einer Reihe

10.06.2007, 14:38

ich bin smile

Konvergenz einer Reihe

Hallo an alle! Wink

Es geht um folgende Reihe:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~ \frac{1}{k^k} \end{eqnarray*}$

Dass sie überhaupt konvergiert, kann man leicht mit einer Abschätzung zeigen.

In der Aufgabe jedoch soll man zeigen dass, die Reihe nicht größer als 2 wird.

Kann mir jemand einen Ansatz geben (Induktion oder Abschätzung) ? verwirrt

Vielen Dank für jede Hilfe! Wink

10.06.2007, 14:47

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Zitat:

Original von ich bin smile
Dass sie überhaupt konvergiert, kann man leicht mit einer Abschätzung zeigen.

Und diese Abschätzung reicht nicht für den Wert 2? Welche hast du denn genommen?

10.06.2007, 14:49

Frooke

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RE: Konvergenz einer Reihe
Wie wär's damit?:

$\begin{eqnarray*} k^k \geqslant k! ~\forall k\geqslant 1 \end{eqnarray*}$

Damit kannst Du abschätzen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~ \frac{1}{k^k}\leqslant \sum_{k=1}^\infty~ \frac{1}{k!}=... \end{eqnarray*}$

Edit: zu spät...

10.06.2007, 14:54

ich bin smile

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Habs bemerkt! Hammer

Wenn ich mich nicht irre, kann man folgendes nehmen, oder?

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~ \frac{1}{2^k}=2 \end{eqnarray*}$

edit zu Frooke: Ja, das ginge, aber das wäre noch größer als 2.

edit zu Lazarus: Deswegen mein Vorschlag $\begin{eqnarray*} k^k > 2^k \end{eqnarray*}$ ,wenn man die Indizes passend verschiebt und das erste Glied raus nimmt.

10.06.2007, 14:58

Lazarus

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Frooke: Du sollst doch zeigen das $\begin{eqnarray*} \sum... < 2 \end{eqnarray*}$ gilt.
Dazu reicht die für die blose Konvergenz ausreichende Abschätzung $\begin{eqnarray*} k^k \geqslant k! \end{eqnarray*}$ aus.

10.06.2007, 15:30

Leopold

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... und wer mir den Wert dieser Reihe angibt, dem finanziere ich einen einwöchigen Aufenthalt auf den Kanaren (oder in einem gleichwertigen Urlaubsgebiet): Flug und Unterkunft. Der erste richtige Eingang im hiesigen Thread zählt.

Natürlich meine ich mit "angibt" keinen Dezimalbruch, mag er auch auf 107855 Stellen genau sein, sondern einen Term in Standardfunktionen und Standardkonstanten. Von besonders "einfallsreichen" Ausdrücken wie der Lambert-W-Funktion, der Besselfunktion siebenkommaachter Art oder der flambierten Pseudo-Digamma-Funktion bitte ich abzusehen.

Der hier ausgesetzte Preis ist nicht einklagbar. Der Rechtsweg wird ausgeschlossen.

10.06.2007, 15:40

ich bin smile

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Oh mein Gott, sogar ein blinder mit 'nem Krückstock wird merken, dass das nicht funktioniert! LOL Hammer

Nachdem ich mich Monate mit dem Ding beschäftigt hatte, einen Abstecher zur Mock-Theta- und Zeta-Funktion unternommen hatte und keine Lust hatte da noch mal 'ne Tautologie rauszubekommen, hab ichs gelassen! Big Laugh

Mein Vorschlag: Macht draus 'ne neue Millenium-Aufgabe!

10.06.2007, 16:09

Leopold

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Zitat:

Original von ich bin smile
Oh mein Gott, sogar ein blinder mit 'nem Krückstock wird merken, dass das nicht funktioniert! LOL Hammer

Woher weißt du das? Bisher hat es noch nie funktioniert. Aber wer kann schon in die Zukunft sehen ...

10.06.2007, 20:10

WebFritzi

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RE: Konvergenz einer Reihe
Ich hab's:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~ \frac{1}{k^k} = \sum_{k=1}^\infty~ \frac{1}{k^k}. \end{eqnarray*}$

So, und jetzt ab auf die Kanaren. Wer bezahlt das noch gleich? Augenzwinkern

11.06.2007, 19:02

Frooke

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Zitat:

Original von ich bin smile
edit zu Frooke: Ja, das ginge, aber das wäre noch größer als 2.

Nein, ich summiere ja nicht von 0 an auf:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~ \frac{1}{k^k}\leqslant \sum_{k=1}^\infty~ \frac{1}{k!}=\mathrm e-1 \neq \sum_{k=0}^\infty~ \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$

11.06.2007, 21:45

ich bin smile

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Da sieht man doch wie wichtig es ist auf Indizes zu schauen!!! Augenzwinkern

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