Glas kippen

10.06.2007, 18:42

Ling-Ling

Glas kippen

Ein zylinderförmiges Trinkglas steht auf einer horizontalen Tischplatte und ist zu 2/3 seines Volumens mit Wasser gefüllt.
Um welchen Winkel muss man es kippen, damit es gerade auszufliessen beginnt?

Ich habe leider überhaupt keine Ahnung, wie ich das berechnen soll verwirrt

10.06.2007, 20:41

Dorika

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Ich habe da eine unproduktve Idee:

Inhalt I
Winkel W

wenn $\begin{eqnarray*} I->0 \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} W->90° \end{eqnarray*}$
wenn $\begin{eqnarray*} I->1 \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} W->0° \end{eqnarray*}$
1="komplett gefüllt"

10.06.2007, 21:03

Ling-Ling

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Zitat:

Original von Dorika
wenn $\begin{eqnarray*} I->0 \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} W->90° \end{eqnarray*}$
wenn $\begin{eqnarray*} I->1 \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} W->0° \end{eqnarray*}$

10.06.2007, 21:05

cst

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RE: Glas kippen
Hoffentlich etwas produktiver Augenzwinkern

:

Das Volumen des Glases ist ja $\begin{eqnarray*} \pi r^2 h \end{eqnarray*}$ , dann ist das Volumen der Flüssigkeit $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}\pi r^2 h \end{eqnarray*}$ . Die rot und blau schraffierten Volumina sind gleich und jeweils $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \pi r^2 h_2 \end{eqnarray*}$ (Hälfte vom "oberen" Zylinder).

Ansatz:
1. Blau schraffiertes Flüssigkeitsvolumen + zylinderförmiges Flüssigkeitsvolumen = 2/3 * Glasvolumen
2. $\begin{eqnarray*} h_1 + h_2 = h \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} h_2 \end{eqnarray*}$ kannst du noch durch $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und Glasurchmesser $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ ausdrücken. Dann hast du ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten ( $\begin{eqnarray*} h_1~\text{und}~\alpha \end{eqnarray*}$ ). d und h bleiben in der Lösung drin, breite flache Gläser schwappen nämlich leichter über als hohe dünne.

10.06.2007, 21:06

Dorika

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war nur so eine krumme überlegung von mir.

also, wenn der inhalt immer geringer wird, dann muss der winkel immer mehr zu einem rechten winkel werden.
wenn das glas aber(fast) komplett gefüllt ist, dann reicht eine minimaler winkel, damit das glas überläuft.

verwirrt

10.06.2007, 21:46

cst

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Aber die Überlegung ist ja richtig. Jetzt brauchen wir nur noch die Lösungen für 0 < I < 1, speziell für I=2/3. Vielleicht fällt dir ja noch ein alternativer Lösungsweg ein?

10.06.2007, 21:48

Ling-Ling

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RE: Glas kippen
Danke! Freude

Zitat:

Original von cst_aus_b

Ansatz:
1. Blau schraffiertes Flüssigkeitsvolumen + zylinderförmiges Flüssigkeitsvolumen = 2/3 * Glasvolumen
2. $\begin{eqnarray*} h_1 + h_2 = h \end{eqnarray*}$ .

Ok, ich versuche es mal:

$\begin{eqnarray*} h_1 2r + \frac {tan(\alpha) ~4r^2} {2} = \frac {2\pi r^2h} {3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h_1 + tan(\alpha)~2r = h \end{eqnarray*}$

10.06.2007, 21:58

cst

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RE: Glas kippen
Die 2. Gleichung stimmt, die 1. nicht ganz. Die Formel fürs Zylindervolumen istz ja $\begin{eqnarray*} V = \pi r^2 h \end{eqnarray*}$ , dementsprechend müsste es ungekürzt heißen:

$\begin{eqnarray*} \pi r^2 h_1 + \frac {\pi r^2\cdot 2 r \tan(\alpha)} {2} = \frac {2\pi r^2h} {3} \end{eqnarray*}$

10.06.2007, 22:07

Ling-Ling

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RE: Glas kippen

Zitat:

Original von cst_aus_b
Die 2. Gleichung stimmt, die 1. nicht ganz. Die Formel fürs Zylindervolumen istz ja $\begin{eqnarray*} V = \pi r^2 h \end{eqnarray*}$ , dementsprechend müsste es ungekürzt heißen:

$\begin{eqnarray*} \pi r^2 h_1 + \frac {\pi r^2\cdot 2 r \tan(\alpha)} {2} = \frac {2\pi r^2h} {3} \end{eqnarray*}$

ich hab bei der Betrachtung deiner Skizze nicht mehr daran gedacht, dass es sich um einen Zylinder handelt...

11.06.2007, 03:07

Poff

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RE: Glas kippen
Wenn du das schraffierte Volumen mit x bezeichnest, gilt:

V - 1/2*x = 2/3*V

x = 2/3*V

das bedeutet h2 =2/3*h und

tan(alpha) =2/3*h/(2*r) = 1/3*h/r

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