Partialbruchzerlegung: Nullstelle mit dem Hornerschema abspalten

10.06.2007, 19:11

Es grünt so grün

Partialbruchzerlegung: Nullstelle mit dem Hornerschema abspalten

Hallo,

ich versuche, folgenden Bruch partiell zu zerlegen:

$\begin{eqnarray*} \frac{2x^2 - 3x + 1}{x^3 - x^2 - 2x} \end{eqnarray*}$

Dazu muss man erstmal eine Nullstelle des Nenners kennen - offensichtlich passt hier die 0.
Nach dem Skript kann ich jetzt mit dem Hornerschema die Nullstelle abspalten. Wende ich das also an:

code:
1: 2: 3: 4: 5:	1 -1 -2 0 0 0 ----------------- 1 -1 [-2]

Aber was mache ich mit dem Ergebnis, und wie kommt man damit auf folgende Form?

$\begin{eqnarray*} r(z) = f(z) + \sum_{j=1}^n \sum_{\nu=1}^{m_j} \frac{a_{j,\nu}}{(z-z_j)^\nu} \end{eqnarray*}$

Ich bin für Hinweise dankbar :-).

10.06.2007, 22:18

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

Vergiss mal das Hornerschema. Da schießt du mit Kanonen auf Spatzen. Simples Ausklammern von x reicht vollkommen aus.

$\begin{eqnarray*} x^3-x^2-2x=0~\Leftrightarrow~x(x^2-x-2)=0 \end{eqnarray*}$

Und ein Produkt wird genau dann null, wenn....

10.06.2007, 22:35

Es grünt so grün

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Und ein Produkt wird genau dann null, wenn....

Ok, aber wie kommt man damit weiter? Dass das Polynom eine Nullstelle mit x = 0 hat wusste ich ja schon...

10.06.2007, 22:41

vektorraum

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Nullstellen von

$\begin{eqnarray*} x^2-x-2 \end{eqnarray*}$

kannst du doch ganz schnell mit der p-q-Lösungsformel ausrechnen...

10.06.2007, 22:53

Es grünt so grün

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich will ja gerade verstehen, was ich mit den Nullstellen anfange, nicht, wie man sie ermittelt...

10.06.2007, 23:00

vektorraum

Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, dann kannst du doch dein Polynom im Nenner in Linearfaktoren aufspalten:

$\begin{eqnarray*} x^3-x^2-2x=x(x-2)(x+1) \end{eqnarray*}$

Dann mache den Ansatz:

$\begin{eqnarray*} \cfrac{2x^2-3x+1}{x^3-x^2-2x}=\cfrac{A}{x}+\cfrac{B}{(x-2)}+\cfrac{C}{(x+1)} \end{eqnarray*}$

Es gilt es diese drei Werte für A,B und C zu berechnen!

10.06.2007, 23:03

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Partialbruchzerlegung: Nullstelle mit dem Hornerschema abspalten

Zitat:

Original von Es grünt so grün
Aber was mache ich mit dem Ergebnis, und wie kommt man damit auf folgende Form?

$\begin{eqnarray*} r(z) = f(z) + \sum_{j=1}^n \sum_{\nu=1}^{m_j} \frac{a_{j,\nu}}{(z-z_j)^\nu} \end{eqnarray*}$

Du scheinst dein Skript nicht ordentlich zu lesen. Da wird wohl nicht nur diese Form stehen, oder? Vielleicht auch, was da was ist und wie man da hinkommt. Die z_j sind deine Nullstellen (des Nenners). Das sind bei dir 3 Stück: 0, a und b (kein Bock drauf, a und b auszurechnen). Jetzt machst du folgenden Ansatz

[Der ganze Bruch] = A/x + B/(x - a) + C/(x - b).

Die rechte Seite bringst du auf einen Bruchstrich und machst dann Koeffizientenvergleich, um A, B und C rauszubekommen.

EDIT: Äh, ja. Augenzwinkern

11.06.2007, 09:44

Es grünt so grün

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Partialbruchzerlegung: Nullstelle mit dem Hornerschema abspalten

Zitat:

Du scheinst dein Skript nicht ordentlich zu lesen. Da wird wohl nicht nur diese Form stehen, oder?

Nein, da steht nichtmal diese Form, die habe ich im Internet gefunden. Der Weg im Skript geht nur über das Horner-Schema (es geht eigentlich auch weniger um die Zerlegung, als um die verwendeten Algorithmen, deswegen hatte ich das auch ursprünglich ins Numerik-Forum gepostet).

Also, hier mal, wie weit ich bisher gekommen bin:

Gegeben:
$\begin{eqnarray*} r_{43}(x) &=& \frac{x^4 - x^2 - 5x + 1}{x^3 - x^2 - 2x} \end{eqnarray*}$

Da der Zählergrad grösser als der Nennergrad ist, führen wir zunächst die Polynomdivision durch:
$\begin{eqnarray*} \begin{array}{rrrrrl} (x^4 & &- x^2 &- 5x &+ 1) & : (x^3 - x^2 - 2x) = \begin{array}{|c|}\hline x + 1\\\hline \end{array} \\ x^4 &- x^3 &- 2x^2 & & & \\ \cline{1-3} \\ & x^3 &+ x^2 &- 5x & & \\ & x^3 &- x^2 &- 2x & & \\ \cline{2-4} \\ & & \multicolumn{3}{c}{\begin{array}{|ccc|}\hline 2x^2 &- 3x & + 1 \\ \hline \end{array}} & \\ \end{array} \end{eqnarray*}$
Es ergibt sich:
$\begin{eqnarray*} r_{43}(x) &=& \frac{(x + 1)(x^3 - x^2 - 2x) + 2x^2 - 3x + 1}{x^3 - x^2 - 2x} \\ &=& x + 1 + \frac{2x^2 - 3x + 1}{x^3 - x^2 - 2x} \end{eqnarray*}$

Nun können wir $\begin{eqnarray*} \frac{2x^2 - 3x + 1}{x^3 - x^2 - 2x} \end{eqnarray*}$ zerlegen. Wir bestimmen
zunächst die Nullstellen des Nenners. Wegen $\begin{eqnarray*} x^3 - x^2 - 2x = x(x^2 - x - 2) \end{eqnarray*}$ und der pq-Formel ergibt sich:
$\begin{eqnarray*} \xi_1 &=& \frac{1}{2} - \sqrt{\left(\frac{-1}{2}\right)^2 + 2} = -1 \\\xi_2 &=& \frac{1}{2} + \sqrt{\left(\frac{-1}{2}\right)^2 + 2} = 2 \end{eqnarray*}$

Es gibt also die drei Nullstellen -1, 0, 2.
$\begin{eqnarray*} \frac{2x^2 - 3x + 1}{x^3 - x^2 - 2x} &=& \frac{A_1}{x + 1} + \frac{A_2}{x} + \frac{A_3}{x - 2} \\ &=& \frac{A_1(x - 2)x}{(x + 1)(x - 2)x} + \frac{A_2(x + 1)(x - 2)}{(x + 1)(x - 2)x} + \frac{A_3(x + 1)x}{(x + 1)(x - 2)x} \\ &=& \frac{A_1(x - 2)x + A_2(x + 1)(x - 2) + A_3(x + 1)x}{(x + 1)(x - 2)x} \\ &=& \frac{A_1(x^2 - 2x) + A_2(x^2 - 2x + x - 2) + A_3(x^2 + x)}{(x^2 + x)(x - 2)} \end{eqnarray*}$

Aber wie komme ich da zu einem brauchbaren Ergebnis?

11.06.2007, 10:30

Es grünt so grün

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Partialbruchzerlegung: Nullstelle mit dem Hornerschema abspalten
Ok, weiter: Was ist mit "Koeffizientenvergleich" gemeint? Wenn ich folgende Form habe:

$\begin{eqnarray*} \frac{2x^2 - 3x + 1}{x^3 - x^2 - 2x} &=& \frac{A_1}{x + 1} + \frac{A_2}{x} + \frac{A_3}{x - 2} \\ &=& \frac{A_1(x - 2)x}{(x + 1)(x - 2)x} + \frac{A_2(x + 1)(x - 2)}{(x + 1)(x - 2)x} + \frac{A_3(x + 1)x}{(x + 1)(x - 2)x} \\ &=& \frac{A_1(x - 2)x + A_2(x + 1)(x - 2) + A_3(x + 1)x}{(x + 1)(x - 2)x} \\ &=& \frac{A_1(x^2 - 2x) + A_2(x^2 - 2x + x - 2) + A_3(x^2 + x)}{(x^2 + x)(x - 2)} \\ &=& \frac{A_1(x^2 - 2x) + A_2(x^2 - 1x - 2) + A_3(x^2 + x)}{(x^2 + x)(x - 2)} \\ &=& \frac{A_1x^2 - 2A_1x + A_2x^2 - A_2x - 2A_2 + A_3x^2 + A_3x}{(x^2 + x)(x - 2)} \\ &=& \frac{(A_1 + A_2 + A_3)x^2 - (2A_1 - A_2 + A_3)x - 2A_2}{(x^2 + x)(x - 2)} \end{eqnarray*}$

Kann ich die Zählerkoeffizienten $\begin{eqnarray*} A_1 + A_2 + A_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2A_1 - A_2 + A_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2A_2 \end{eqnarray*}$ erkennen. Aber wie vergleicht man das und mit was?

11.06.2007, 10:46

Es grünt so grün

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Partialbruchzerlegung: Nullstelle mit dem Hornerschema abspalten
Ok, ich glaub' jetzt hab' ich's:

Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich folgendes lineares Gleichungssystem:
$\begin{eqnarray*} A_1 + A_2 + A_3 &=& 2 \\2A_1 - A_2 + A_3 &=& 3 \\ 2A_2 &=& 1 \end{eqnarray*}$

Äquivalent:
$\begin{eqnarray*} A_1 + A_2 + A_3 &=& 2 \\ -3A_2 - A_3 &=& -4 \\ 2A_2 &=& 1 \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} A_2 = \frac{1}{2}, A_3 = \frac{5}{2}, A_1 = -1 \end{eqnarray*}$ . Es gilt deswegen:

$\begin{eqnarray*} \frac{2x^2 - 3x + 1}{x^3 - x^2 - 2x} &=& \frac{2x^2 - 3x + 1}{(x^2 + x)(x - 2)} \\ &=& \frac{-1}{x + 1} + \frac{1}{2x} + \frac{5}{2x - 4} \end{eqnarray*}$

Wäre nett, wenn das noch jemand bestätigen könnte.

11.06.2007, 10:52

Es grünt so grün

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Partialbruchzerlegung: Nullstelle mit dem Hornerschema abspalten
Arg! Die Elimination ist falsch... mir fällt bestimmt noch was ein, krieg' ich dann ein eigenes Forum?

11.06.2007, 11:07

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Partialbruchzerlegung: Nullstelle mit dem Hornerschema abspalten

Zitat:

Original von Es grünt so grün
Ok, ich glaub' jetzt hab' ich's:

Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich folgendes lineares Gleichungssystem:
$\begin{eqnarray*} A_1 + A_2 + A_3 &=& 2 \\2A_1 - A_2 + A_3 &=& 3 \\ 2A_2 &=& 1 \end{eqnarray*}$

In der letzten Zeile muss -1 statt 1 stehen. Ansonsten bis dahin alles richtig. Sehr schön. smile

11.06.2007, 11:22

Es grünt so grün

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Partialbruchzerlegung: Nullstelle mit dem Hornerschema abspalten
Danke!!

Neue Frage »

Antworten »

Partialbruchzerlegung: Nullstelle mit dem Hornerschema abspalten

Verwandte Themen