Maximum von komplexen Funktionen

10.06.2007, 21:42

vektorraum

Maximum von komplexen Funktionen

Hi!

Wir haben eine mehr oder weniger einfache "Rechenaufgabe": Es ist das Maximum von $\begin{eqnarray*} |f| \end{eqnarray*}$ auf dem abgeschlossenen Einheitskreis $\begin{eqnarray*} \overline{\mathbb E}=\{z\in \mathbb C|~|z|\leq 1\} \end{eqnarray*}$ für die folgenden Funktionen zu bestimmen:

$\begin{eqnarray*} f(z)=\exp(z^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(z)=\cfrac{z+3}{z-3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(z)=z^2+z-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(z)=3-|z|^2 \end{eqnarray*}$ .

Nun vorab die Frage an die Vorangehensweise. Soll hier das ganze mit Hilfe des Satzes zum Maximumprinzip gelöst werden???

Ist es sinnvoll zunächst die komplexe Zahl $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ in der Form $\begin{eqnarray*} z=x+iy,~x,y\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ zu schreiben oder eher unnötiger Aufwand???

Letztendlich - wie bekomme ich den Wert raus, den die Funktion auf dem Rand annimmt???

Ich danke euch schon mal für eure Hilfe Gott

10.06.2007, 21:48

Orakel

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RE: Maxikum von komplexen Funktionen
eine möglichkeit ist, $\begin{eqnarray*} f(z)=f(x,y) \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} z=x+iy \end{eqnarray*}$ zu setzen und $\begin{eqnarray*} |f(z)|=|f(x,y)| \end{eqnarray*}$ in abhängigkeit von x,y auszurechnen. dann kann man für die funktion $\begin{eqnarray*} g(x,y):=|f(x,y)| \end{eqnarray*}$ für alle x,y mit $\begin{eqnarray*} x^2+y^2\le 1 \end{eqnarray*}$ das maximum bestimmt werden!

10.06.2007, 22:03

vektorraum

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RE: Maxikum von komplexen Funktionen
@Orakel: Danke für die schnelle Antwort.

Nun gut, das kann ich ja mal machen. Dann erhalte ich

$\begin{eqnarray*} f(z)=\exp(z^2)=f(x,y)=\exp((x+iy)^2=\exp(x^2+2iy-y^2) \end{eqnarray*}$

Nun, was ist hier $\begin{eqnarray*} |f(x,y)| \end{eqnarray*}$ . Den Betrag kann ich ja nicht reinziehen, oder?

$\begin{eqnarray*} f(z)=\cfrac{z+3}{z-3}=|f(x,y)|=\cfrac{|x+3+iy|}{|x-3+iy|}=\cfrac{\sqrt{(x+3)^2+y^2}}{\sqrt{(x-3)^2+y^2}}:=g(x,y) \end{eqnarray*}$

Extremwertaufgabe mit Nebenbedingungen???

Ansatz so okay?

10.06.2007, 22:11

Orakel

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RE: Maxikum von komplexen Funktionen
nur mal zur ersten funktion

$\begin{eqnarray*} |e^{x^2-y^2+2ixy}|=e^{x^2-y^2}|e^{2ixy}|=e^{x^2-y^2}=:g(x,y) \end{eqnarray*}$ .

11.06.2007, 07:33

Leopold

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Die ersten drei Funktionen sind ja holomorph. Nach dem Maximumprinzip müssen sie ihr Maximum auf der abgeschlossenen Einheitskreisscheibe auf deren Rand annehmen. Du darfst daher zusätzlich $\begin{eqnarray*} |z| = 1 \end{eqnarray*}$ oder äquivalent dazu $\begin{eqnarray*} z \bar{z} = x^2 + y^2 = 1 \end{eqnarray*}$ als Nebenbedingung voraussetzen.

Den Betrag der ersten Funktion hat ja Orakel bereits für dich berechnet. Mit Hilfe der Nebenbedingung kannst du dich sofort von einer weiteren Variablen befreien. Dann kann man das Maximum ohne Rechnung ablesen. (Beachte, daß $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 = 1 \end{eqnarray*}$ beschränkt sind.)

Bei der zweiten Funktion würde ich $\begin{eqnarray*} |f(z)| \end{eqnarray*}$ einfach abschätzen. Verwende im Zähler die Dreiecksungleichung, im Nenner die umgekehrte Dreiecksungleichung. Dann mußt du dir noch überlegen, daß diese Abschätzung scharf ist, daß also der abgeschätzte Wert von $\begin{eqnarray*} |f(z)| \end{eqnarray*}$ auch tatsächlich für ein $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |z| = 1 \end{eqnarray*}$ angenommen wird. Das sieht man aber sofort, denn der "naheliegendeste" $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ -Wert tut es.

Für die beiden restlichen Funktionen kannst du dir ja selber einmal etwas überlegen. Insbesondere die letzte ist ja besonders einfach. Beachte aber, daß sie nicht holomorph ist.

12.06.2007, 17:19

vektorraum

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RE: Maxikum von komplexen Funktionen

Zitat:

Original von Orakel
nur mal zur ersten funktion

$\begin{eqnarray*} |e^{x^2-y^2+2ixy}|=e^{x^2-y^2}|e^{2ixy}|=e^{x^2-y^2}=:g(x,y) \end{eqnarray*}$ .

Hi!

Ich habe jetzt die Aufgabe alle lösen können. Vielen Dank für eure Hilfe! Was ich aber nicht verstehe, oder vlt jetzt einfach nicht sehe ist diese Gleichungskette. Warum darf man da den Betrag einfach weglassen zum einen, und dann auch noch den Rest eins setzen???

Vielen Dank euch beiden Gott

12.06.2007, 17:31

Lazarus

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$\begin{eqnarray*} e^{ix} \end{eqnarray*}$ bildet den Punkt auf dem Einheitskreis der unter dem Winkel $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ erscheint.

Naheliegender Weise haben diese Punkte alle den Betrag $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$

12.06.2007, 18:09

vektorraum

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@Lazarus: Vielen Dank, na klar! Logisch Wink

Hab ich im Eifer des Gefechtes nicht gesehen.

Also wieder eine Aufgabe gelöst Freude

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