LaPlace Näherung Unklarheit

18.01.2005, 17:54

Scuolfan

LaPlace Näherung Unklarheit

Hallo.
Ich habe folgendes problem und erbitte mit von einem oder gerne auch mehreren Profis oder Cracks Hilfe.

Ich weiss nciht genau, wann ich den zentralen Grenzwertsatz von Moivre La Place, und wann den integralen Grenzwertsatz anwenden soll/muss. Ich bereite z.zt. meine Nachschrift - Klausur im 13er Gk vor ( nächsten Montag) . Wird meine letzte Klausur in Mathe, daher etwas mehr Mühe.
Ich arbeite sowohl mit dem Buch "Abi Countdown Wahrscheinlichkeitsrechnung LK" als auch mit dem "Mathe Profi" von Cornelsen. In ersterem Buch sind die einzelnen Sätze ( lokaler, integraler, zentraler Grenzwertsatz und Normalverteilung) eigentlich erläutert, ganz verstehe ich es dennoch nciht. Dort steht, dass man in der Regel bei binomialverteilten Zufallsgrößen den integralen Grenzwertsatz anwendet, d.h., ich rechne
< k -µ+ 0,5
P ( X _ k) = ¦ ( -------------- ) .
Ã

Der zentrale Grenzwertsatz( auch als "Normalverteilung" in dem Buch Abi-Countdown weiter ausgeführt), der eben nicht für binomialverteile Zufallsgrößen sondern für Zufallsgrößen generell gilt, lässt aber die Addition von 0,5 weg!!
Jetzt ist in dem Mathe Profi eine Beispielaufgabe: Bei der Produktion von Glühlampen hat eine Firma einen Aussschuss von 2%. Wie groß ist die Wahrsch., dass unter den 1000 Glühlampen a) höchstens und b) mindestens 25 defekt sind?
Also eine Rechnung mit BINOMIAL verteilter Zufallsgröße. Jetzt kennen die in diesesm Buch aber nur allgemein die "Näherungsformel von Laplace und de Moivre". Und diese ist genau wie der zentrale Grenzwertsatz(Normalverteilung), lässt also die Addition der 0,5 weg! So ist es dann auch in der Beispielrechnung, ohne die +0,5 in der Formel.
In der Schule rechnen wir aber IMMER mit diesen +0,5 , also dem "Integralen Grenzwertsatz".
Werde auf jeden Fall meinen Lehrer danach nochmal fragen, aber es wäre klasse, wenn mir hier einer mal erklären könnte, was das soll und wann ich jetzt was anwenden soll/muss.
Ist echt verwirrend, diese Mathematik.
Danke Euch im Vorraus!
Gruss Simon

18.01.2005, 17:57

Scuolfan

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Sorry wegen der Formel, das geht hier nicht.
Soll heissen:

k - Mü (E(x)) + 0,5
P ( X kleiner gleich k ) = Phi ( --------------------------- )
Sigma

Danke!

18.01.2005, 18:24

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Ok, ich ordne zunächst mal ein wenig die Begriffe und Symbole:

Du betrachtest eine binomialverteilte Zufallsgröße X mit den Parametern n und p. Dann besitzt die standardisierte Zufallsgröße
$\begin{eqnarray*} Z=\frac{X-\mathbb{E}X}{\sqrt{\mathrm{var}\, X}}=\frac{X-\mu}{\sigma} \end{eqnarray*}$
nach dem zentralen Grenzwertsatz von Moivre-Laplace die Normalverteilung als Grenzverteilung für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ . Speziell bei der hier betrachteten Binomialverteilung von X ist $\begin{eqnarray*} \mu=np \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma^2=np(1-p) \end{eqnarray*}$ .

Nun kann man Wahrscheinlichkeiten für X durch die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten für Z nähern:

$\begin{eqnarray*} P(X<x)=P\left(\frac{X-\mu}{\sigma}<\frac{x-\mu}{\sigma}\right)=P\left(Z<\frac{x-\mu}{\sigma}\right)\approx \Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right) \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \Phi\left(\ldots\right) \end{eqnarray*}$ gewöhnlich die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung kennzeichnet.

Für ganzzahlige Werte k bezogen auf die diskrete Binomialverteilung wählt man nun wegen des besseren, weil kleineren Restfehlers nicht x = k, sondern x = k + 0.5:

$\begin{eqnarray*} P(X\leq k)=P\left(X<k+\frac{1}{2}\right)\approx\Phi\left(\frac{k+0.5-\mu}{\sigma}\right) \end{eqnarray*}$

(das ist dann vermutlich das, was du als integralen GWS bezeichnest).

Somit ist auch letztere Approximation nichts anderes als Moivre-Laplace, nur eben an der speziellen Argumentstelle x = k+0.5 verwendet.

Du könntest auch k+0.1 oder k+0.8 usw. jeden beliebigen Wert k+r mit 0<r<1 verwenden - die (im Mittel) besten Eigenschaften hinsichtlich des Restfehlers hat aber die Wahl von k+0.5.

Alles klar? Wink

Anmerkung zur Sprechweise:
Der zentrale Grenzwertsatz wird keinesfalls als "Normalverteilung" bezeichnet, sondern die Normalverteilung taucht im ZGWS als Grenzverteilung auf - das sind zwei Paar Schuhe! Lehrer

18.01.2005, 22:04

Scuolfan

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Hallo!
Danke erstmal für diese ausführliche Erläuterung!
Ich habe zwar immer noch einges nicht ganz verstanden(macnhe Zusammenhänge bzw. Grundlagen sind mir einfach nicht vertraut bzw. nicht zugänglich), es war aber auf alle Fälle hilfreich.
Jedoch: Warum wird denn bei der von mir angeführten Aufgaben aus dem "Mathe Profi" von Cornelsen dann nicht der integrale Grenzwertsatz behandlet bzw. warum handelt es sich dann nicht um einen diskrete, sondern einen stetige Zufallsgröße, bei der man dann die Formel ohne +0,5 rechnet? Denn meiner Meinung nach ist bei dieser Aufgabe doch eine diskrete Zufallsgröße vorliegend, müsste also doch mit der Addition von 0,5 gerechnet werden?
Das ist mir noch unklar.
Kann man generell sagen, dass man im zusammenhang mit Textaufgaben und auch Hypothesentests zumeist die Approximation mit +0,5 wählt? So ist zumindest mein Eindruck, denn im UNterricht rechnen wir eigentlich immer damit .
Da fällt mir im Übrigen gerade ins Auge, dass man bei dem integralen GWS bei

"P n über s ( k kleinergleich X kleinergleich s) = Phi ( s - Mü + 0,5) : sigma ) - Phi ( k - Mü - 0,5) : sigma" rechnet. Warum und wann denn das jetzt? Wäre klasse, wenn du mir nochmal so gut helfen könntest.
Sorry für die viel. etwas trivialen Fragen, aber das ganze ist echt nicht ganz leicht... verwirrt

Gruss und Danke im Vorraus.
Simon

PS: Wir bekommst du das mit den Formeln hier so gut hin, die so klasse hier zu schreiben?Mit allen Zeichen etc.

18.01.2005, 22:36

gast

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+- 0,5 ist die bekannte stetigkeitskorrektur, sie liefert ein besseres ergebnis, bei großen zahlen kann man sie auch gut weglassen!

18.01.2005, 22:41

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Binomialverteilte Zufallsgrößen nehmen nur ganzzahlige Werte an. Also ist es völlig egal (!), ob man nun z.B.
$\begin{eqnarray*} P(X\leq 9)=P(X<9.1)=P(X<9.5)=P(X<9.8) \end{eqnarray*}$
schreibt - es ist jedesmal die Wahrscheinlichkeit für Werte kleiner oder gleich 9. Sei z.B. sei n=16 und p=0.5, also $\begin{eqnarray*} \mu=np=8 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma^2=np(1-p)=4 \end{eqnarray*}$ , dann erhält man hier den Wert $\begin{eqnarray*} P(X\leq 9)=0.77275 \end{eqnarray*}$ .

Andererseits ist die Normalverteilung als Grenzverteilung eine stetige Zufallsgröße, wo es sehr wohl eine Rolle spielt, welches Argument man wählt. Auf das obige Beispiel bezogen erhält man über die Transformation $\begin{eqnarray*} Z=\frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{X-8}{2}\approx Z^* \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} Z^* \end{eqnarray*}$ standardnormalverteilt ist, die Wahrscheinlichkeiten
$\begin{eqnarray*} P(Z^*\leq 0.5)=0.69146 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(Z^*<0.55)=0.70884 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(Z^*<0.75)=0.77337 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(Z^*<0.9)=0.81594 \end{eqnarray*}$
Alle vier Werte sind - wenn man den ZGWS als Näherung gebraucht - Näherungswerte für die oben exakt ermittelten 0.77275. Zumindest in diesem Beispiel war die Näherung für das Argument 0.75=(9.5-8)/2 die beste. Und da das "meistens" gilt, ist eben die Auswahl der Stelle k+0.5 besonders günstig.

Man darf also nicht glauben, dass für endliche n (und man rechnet für konkrete Daten immer mit endlichen n) die Normalverteilung gleich der Binomialverteilung ist - sie ist immer nur eine Approximation, die allerdings um so besser ist, je größer n ist.

Nochmal: Was du als "integralen ZGWS" bezeichnest ist nichts weiter als Moivre Laplace mit der numerisch günstigen Wahl des Arguments k+0.5. Man kann auch direkt k wählen, es ist nicht direkt falsch - aber da ist eben der Approximationsfehler größer.

(Für die Formeln gibt es LaTeX (nennt sich hier Formel-Editor).)

18.01.2005, 22:51

Scuolfan

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Danke!
Das hilft gut weiter!
Ist es dann also so, dass bei der Aufgabe aus dem Matheprofi mit den Glühbirnen ( müsste weiter oben im ersten Post stehen) einfach ungenau gerechnet worden ist?
D.h., ich könnte auch mit der Approximation mit 0,5 arbeiten und erhielte dann u.U. ein exakteres Ergebnis?
Denn es ist ja eine klare, diskrete Zufallsgröße, die binomialverteil ist ( --> Entweder die Glühbirne funktioniert, oder sie funktioniert nicht, s.o.)
Danke auf jeden Fall für die Mühe bis hierhin! Absolute klasse.
Gruss und schönen Abend

18.01.2005, 22:53

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Zitat:

Original von Scuolfan
D.h., ich könnte auch mit der Approximation mit 0,5 arbeiten und erhielte dann u.U. ein exakteres Ergebnis?

So ist es. Freude

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