übungsaufgabe analytische geometrie

11.06.2007, 11:02

TotalerMatheLoser

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übungsaufgabe analytische geometrie

meine nächste aufgabe sieht folgendermaßen aus:
Gegeben sind die Punkte A(3/2/-3), B(4/4/-1) und C(5/2/-1)
a) stellen sie die gleichung der geraden g durch A und B und der geraden h durch A und c auf
b) welchen Winkel bilden die Geraden g und h?
c)geben sie eine parameterdarstellung der durch g und h aufgespannten Ebene E1 an
d) Zeigen sie, das sich E1 auch in der Form 2(x1)+(x2)-2(x3)-14=0 darstellen lässt
e) Fällen sie vom Punkt Q(6/5/-3) das Lot l auf E1 und bestimmen sie die Koordinaten des Fußpunktes F

jetzt meine fragen:
a) g: vec x=(3/2/-3)+lambda(1/2/2) und h:vec x=(3/2/-3)+my(2/0/2) ?
b)muss ich da noch nen schnittpunkt berechnen oder kann ich einfach gleich cos alpha ausrechnen?
c) hier g und h gleichsetzen?oder einfach E: vec x=(vec a)+lambda (vec b - vec a)+ my(vec c - vec a)?
d) soll ich da nur die punkte in die ns einsetzen oder wie komm ich nochmal von der parameter in die normalenform?
e) muss erst mal die oberen sachen wissen ^^

11.06.2007, 11:13

brunsi

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RE: übungsaufgabe analytische geometrie
a) richtig
b) schnittpunkt berechnen ist nicht notwendig, den hast du bereits gegeben. deine beiden Geraden haben beide den selben stützvektor!!! und jetzte infach Cosinus von alpha (also winkel) berechnen

hier noch ein link dazu:
http://sites.inka.de/picasso/Schnurr/Schnittwinkel.html#Winkel(g,h)

edit: zu c) bei c reicht es vollkommen aus, wenn du einfach den stützvektor deiner Geraden nimmst und die beiden Richtungsvektoren deiner beiden Geraden.

edit2: zu d) du musst nun den Normalenvektor der Ebene E1 bilden.das machst du über das kreuzprodukt: http://de.wikipedia.org/wiki/Normale

und die Komponenten dieses neuen vektors sind dann deine Koordinaten für deine Normalform. nun setzt du noch einen Punkt ein der in der Ebene liegt beispielsweise dein Punkt A und erhälst dann auch dein d aus dieser darstellung: $\begin{eqnarray*} E_1: ax_1+bx_2+cx_3=d \end{eqnarray*}$

11.06.2007, 11:57

TotalerMatheLoser

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b) cos alpha=45°?
c) verwirrt

verwirrt

meinst du einfach nur E:x=(3/2/-3)+lambda(1/2/2)+my(2/0/2)?
d) welche vektoren nehm ich denn fürs kreuzprodukt? (1/2/2) und (2/0/2)?

11.06.2007, 12:02

Tjamke

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c) rischtisch Freude

Freude

d) Ja die beiden Richtungsvekoren. Mit dem Kreuzprodukt erhälst du denjenigen Vektor, der auf den zwei anderen senkrecht steht, also den Normalenvektor.

Kannst du dann auch jetzt e)?

11.06.2007, 12:04

brunsi

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würde gerne deine Rechnung zu Teil a) sehen

edit: denn das scheint mir etwas zu stark gerundet zu sein. ich bekomme als dezimalwert 0,8333... heraus. was hast du???

11.06.2007, 12:17

TotalerMatheLoser

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also is mein normalenvektor(4/2/-4) bzw meine gleichung: 4x1+2x2-4x3-28=0
kann ich dann einfach sagen, dass das ein vielfaches von der angegebenen gleichung ist, und daran zeigen, dass sie sich so darstellen lässt, oder was sagt man da?
und bei der letzten aufgabe, was mach ich da denn jetzt, weil ich kann doch da jetzt net einfach den punkt für die x einsetzen und ne neue gleichung machen in die ich dann die grade einsetz oder?

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11.06.2007, 12:23

TotalerMatheLoser

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zu a)?? wieso ich hab doch die allgemine Parametergleichung die besagt E: vektor x=(vec a) + lambda (vec b - vec a) + my( vec c - vec a)
oder meinst den winkel? da hab ich das so gemacht wie es auch in deinem link steht. das ende is bei mir: 6/(3*wurzel8)=45° oder hab ich wieder die flasche taste gedrückt beim taschenrechner +lol+ ?

11.06.2007, 12:29

brunsi

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naja also bei mir folgt:

$\begin{eqnarray*} \cos(\alpha)=\frac{|1*2+2*0+2*2|}{\sqrt{9}*\sqrt{4}}=\frac{5}{6} \end{eqnarray*}$

11.06.2007, 12:34

Tjamke

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Zitat:

Original von TotalerMatheLoser
also is mein normalenvektor(4/2/-4) bzw meine gleichung: 4x1+2x2-4x3-28=0

Ja stimmt schon, aber du kannst noch kürzen. Kannst du schon beim Normalenvektor, also $\begin{eqnarray*} \vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Wenn dus gekürzt hast siehst du auch, das es das ist was du zeigen solltest.

Zitat:

Original von TotalerMatheLoser
und bei der letzten aufgabe, was mach ich da denn jetzt, weil ich kann doch da jetzt net einfach den punkt für die x einsetzen und ne neue gleichung machen in die ich dann die grade einsetz oder?

zu e) Bilde eine Gerade durch Q und senkrecht zu E und schneide sie dann mit E, so erhälst du den Lotfußpunkt.

als klar? verwirrt

verwirrt

Edit:
@brunsi

Zitat:

Original von brunsi
naja also bei mir folgt:

$\begin{eqnarray*} \cos(\alpha)=\frac{|1*2+2*0+2*2|}{\sqrt{9}*\sqrt{4}}=\frac{5}{6} \end{eqnarray*}$

schau mal, du hast dich verrechnet: 2+4=6 (beim Zähler) und beim Nenner ist $\begin{eqnarray*} 3\sqrt{8} \end{eqnarray*}$ oder? verwirrt

verwirrt

Edit2) und $\begin{eqnarray*} 3\sqrt{8}=6\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

11.06.2007, 12:56

TotalerMatheLoser

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über ne hilfsebene?also zb x1+2x2+2x3=10 die sich bei (4/4/-1) schneiden?

11.06.2007, 12:59

Tjamke

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Nein du brauchst keine Hilfsebene. Stell dir das mal vor. Also du hast eine Ebene und einen Punkt, verdinden kannst du sie mit einer Geraden, da die Aufgabe sagt es solle eine Lotgerade sein, muss diese Gerade also senkrecht auf E stehen, was steht denn noch auf E senkrecht? (Tipp: ist ein Vektor Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

11.06.2007, 13:21

TotalerMatheLoser

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hä? der normalenvektor steht senkrecht zu den beiden spannvektoren

11.06.2007, 13:27

Tjamke

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Richtig, also kannst du eine Gerade durch Q und dem Normalenvektor als Richtungsvektor aufstellen. Wenn du diese dann mit E schneidest bekommst du den Lotfußpunkt.

13.06.2007, 15:06

TotalerMatheLoser

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g:vec x=(6/5/-3)+lambda(4/2/-4)
E:vec x=4x1+2x2-4x3-28=0 gleichsetzen? wenn ja wie schreib ich die geradengleichung anders auf?

13.06.2007, 15:18

Bjoern1982

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$\begin{eqnarray*} x_1=6+4\lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2=5+2\lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3=-3-4\lambda \end{eqnarray*}$

Das nun in E1 einsetzen und nach lambda auflösen.

Gruß Björn

13.06.2007, 15:23

TotalerMatheLoser

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aso, ja das gleichsetzen hat mich n bissl verwirrt ^^ also S(4/4/-1)

13.06.2007, 15:27

Bjoern1982

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Stimmt

Freude

13.06.2007, 15:30

TotalerMatheLoser

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cool danke Big Laugh

Big Laugh

ich hab jetzt aber noch ne allgemeine frage. und zwar: gibt es eine seite, auf der man nachschauen kann was man bei welchen aufgabenstellungen machen muss, so allgemein halt die wege?

13.06.2007, 15:42

Bjoern1982

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Da es ja wirklich unüberschaubar viele Aufgabestellungen gibt wird das wohl nicht funktionieren. Aber durch gezieltes Suchen mit einer Suchmaschine oder konkretes Fragen hier im matheboard Augenzwinkern

Augenzwinkern

kannst du schon vieles erfahren.

Vielleicht bringt das Stöbern auf diesen Seiten etwas:

http://sites.inka.de/picasso/eingang.htm

http://nibis.ni.schule.de/~lbs-gym/

http://thomas-unkelbach.de/

Gruß Björn

13.06.2007, 16:12

TotalerMatheLoser

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ja ok da hast du recht. dachte nur es wäre halt für leute wie mich hilfreich, die in mathe mündliche prüfung machen und dort ja alles genau erklären müssen, warum sie dies und das machen. und mir geht es halt so, dass ich doch des öfteren gar nich mehr weiß, was ich jetzt machen muss und warum. is halt schon ne zeit lang her und wenn man für klausuren nur auswendig lernt, kommt man irgendwann dann doch nich mehr dahinter, wie das nun genau ging, da helfen einem auch die hefteinträge nicht mehr.

13.06.2007, 16:14

Bjoern1982

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Ist ja auch in Ordnung smile

smile

Deshalb löchere uns mit allen Fragen, die die so einfallen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß Björn

13.06.2007, 17:01

TotalerMatheLoser

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ähm ok

Big Laugh

das sind jetzt wahrscheinlich echt total bescheuerte fragen aber ich mach einfach ma
wozu bzw wann brauche ich denn:
1) das vektorprodukt?
nur um die normalenform von irgendwas zu bekommen?
2) den Betrag eines Vektors?
der is nur da um eine Länge von irgendwas zu bekommen?
3) die Hessesche Normalenform?

Anderes:
A: Wie weise ich denn nach ob was windschief ist? also 2 geraden oder sowas?
B: wenn ich wissen will wie was (z.b. eine gerade zu ner ebene) liegt, was mach ich?
C: der Betrag von nem Kreuzprodukt 2er vektoren is immer die A von nem Parallelogramm?
D: Schnittpunkt errechnet sich immer durch gleichsetzen?
E: den Abstand von irgendwas zum Nullpunkt berechne ich wie?
F: wenn was senkrecht zu irgendwas ist, schau ich immer ob der normalenvektor n richtungsvektor oder n vielfaches von was is?

ich überleg mir noch andere sachen^^

13.06.2007, 17:35

Bjoern1982

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Ich werde dir nachher antworten, muss jetzt erstmal zum Sport Wink

Wink

Edit:

1) Das Vektorprodukt VP zweier Vektoren liefert die einen Vektor, der senkrecht zu den beiden Ausgangsvektoren steht. Es ist auch nur für dreidimensionale Vektoren definiert.

Anwendungen:

- Normalenvektor einer Ebene durch VP der beiden Richtungsvektoren
- Flächeninhalte und Volumen kann man sehr oft sehr einfach durch das VP berechnen

2) Der Betrag eines Vektors entspricht seiner Länge. Das ist z.B. beim Abstand zweier Punkte nützlich, oder auch allgemein bei Abstandsberechnungen (Gerade-Gerade, Ebene-Ebene, Punkt-Ebene...). Auch in den Formeln zur Schnittwinkelberechnung taucht immer der Betrag eines Vektors auf. Achja und natürlich beim Bilden der HNF. Allgemein kann man einen Vektor auch normieren, also auf die Länge 1 bringen, indem man ihn durch seinen Betrag dividiert.

Du siehst also, dass das ganz schön häufig Anwendung findet Augenzwinkern

Augenzwinkern

3) Aus der HNF lässt eine schöne Abstandsformel fü den Abstand eines Punktes zu einer Ebene aufstellen. Desweiteren gibt die Zahl rechts vom Gleichheitszeichen auch immer den Abstand der Ebene zum Ursprung an, was teilweise auch deine Frage bei E beantwortet. Es gibt auch eine HNF für Geraden, aber nur im Zweidimensionalen. Damit kann man dann auch recht schnell den Abstand eines Punktes von einer Geraden bestimmen.

A) Nur zwei Geraden können windschief sein. Stell dir eine Autobahn und eine Brücke als Geraden vor, diese wären z.B. windschief, sind also nicht parallel und haben keinen Schnittpunkt. Nachweisen kann man das z.B. wenn man zeigt dass die Richtungsvektoren linear unabhängig sind und beim Gleichsetzen der Geraden keine Lösung rauskommt.

B) Bei Gerade-Ebene geht das recht fix, denn wenn Normalenvektor der Ebene E und Richtungsvektor der Geraden g senkrecht zueinander stehen, also deren Skalarprodukt null ergibt, dann sind sie parallel oder g liegt in E. Durch eine Punktprobe kann man dann eindeutig nachweisen, welcher der beiden Fälle vorliegt. Sind Richtungsvektor und Normalenvektor nicht senkrecht zueinander, dann schneiden sich E und g.

C) Ja, wenn die beiden Vektoren linear unabhängig sind, kann man das so sehen, also dass sich daraus der Flächeninhalt des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms ergibt.

D) Sofern die Ebenen und Geraden auch immer in derselben Form, sprich Parameterform oder Koordinatenform, vorliegen, dann sollte das funktionieren. Ist eine Ebene mal in Koordinatenform und die Gerade in Parameterform gegeben, dann kann man die Gerade auch in die Ebene einsetzen, um den Durchstosspunkt zu erhalten.

E) Abstand Ebene-Ursprung hab ich ja schon was zu geschrieben (HNF)
Abstand Punkt-Usrprung ist ja einfach die Länge des Vektors durch die beiden Punkte. Abstand Gerade-Ursprung ist eben eine Punkt-Gerade Abstandsberechnung mit Hilfsebene oder wie auch immer ihr das gemacht habt.

F) Wie schonmal erwähnt weist man Orthogonalität z.B. durch das Skalarprodukt nach

Ich hoffe mal das hilft dir weiter.

Gruß Björn

15.06.2007, 19:28

TotalerMatheLoser

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Tanzen

danke dir vielmals Gott

Gott

hab noch kurz was anderes +lach+ und zwar hab ich 2 zeichnungen bei denen ich den flächeninhalt berechnen muss, ich weiß was zu machen is aber ich krieg die stammfunktionen von den gleichungen nicht hin böse

böse

und zwar:
1) y= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} x + 2 \end{eqnarray*}$ und x= $\begin{eqnarray*} \frac{-9}{4x}+\frac{1}{4} x+2 \end{eqnarray*}$

2) x= $\begin{eqnarray*} \frac{6(x-1)}{x^3} \end{eqnarray*}$

bei 1) hab ich für y: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{8} x^2+2x \end{eqnarray*}$ aber weiter komm ich nich oder muss ich da ln machen +fürcht+ (kann das gar nicht)

15.06.2007, 20:25

Bjoern1982

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$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{-9}{4x}+\frac{1}{4} x+2=-\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{4} x+2 \end{eqnarray*}$

Und eine Stammfunktion von f(x)=1/x ist F(x)=ln(x)

Bilde also für jeden Summanden deiner Funktion einzeln eine Stammfunktion.

zu 2)

$\begin{eqnarray*} \frac{6(x-1)}{x^3}=\frac{6x-6}{x^3}=\frac{6x}{x^3}-\frac{6}{x^3}=\frac{6}{x^2}-\frac{6}{x^3} \end{eqnarray*}$

Damit sollte es dann klappen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß Björn

16.06.2007, 17:30

TotalerMatheLoser

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also bei der ersten sieht das dann mit lnx so aus: $\begin{eqnarray*} - \frac{9}{4} \cdot lnx + \frac{1}{4} x +2 \end{eqnarray*}$ aber wie gehts weiter? $\begin{eqnarray*} - \frac{9}{4} x \cdot lnx + \frac{1}{8} x^2 +2x \end{eqnarray*}$ ? und bei 2) wie is das mit $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$

16.06.2007, 17:38

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} - \frac{9}{4} x \cdot lnx + \frac{1}{8} x^2 +2x \end{eqnarray*}$

Wenn du noch ein F(x) davor schreibst kann man dann auch von einer Stammfunktion von f(x) sprechen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Was ist dein Problem bei 2) ?

$\begin{eqnarray*} \frac{6(x-1)}{x^3}=\frac{6x-6}{x^3}=\frac{6x}{x^3}-\frac{6}{x^3}=\frac{6}{x^2}+\frac{6}{x^3}=6x^{-2}+6x^{-3} \end{eqnarray*}$

Und jetzt ganz normal von jeden Summanden einzeln eine Stammfunktion bilden.

Gruß Björn

16.06.2007, 17:52

TotalerMatheLoser

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Sorry

Big Laugh

also dann bei 2) F(x)= $\begin{eqnarray*} -6 x^{-1} -3 x^{-2} \end{eqnarray*}$ bzw F(x)= $\begin{eqnarray*} -\frac{6}{x} -\frac{2}{x^{2} } \end{eqnarray*}$ ?

16.06.2007, 18:10

Bjoern1982

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Ja, hast dich zwar am Ende verschrieben, aber dir sei verziehen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich will dich damit auch nicht ärgern, vielmehr möchte ich dass du in der Klausur keinen Punktabzug deswegen bekommst smile

smile

Gruß Björn

16.06.2007, 18:39

TotalerMatheLoser

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na toll jetzt hab ich die stammfunktionen aber das was bei der flächenberechnung rauskommen soll, kommt bei mir nicht raus traurig

traurig

also ich hab jetzt folgendes: $\begin{eqnarray*} [\frac{1}{8}x^{2}+2x]_{0}^6 -[\frac{-9}{4}x \cdot lnx + \frac{1}{8}x^{2}+2x]_{1}^6 \end{eqnarray*}$
mein TR sagt da kommt ca. 6,156 raus...wenn ich das rechne krieg ich für den ersten teil 16,5 und für den zweiten 9,8138 raus, aber 16,5-9,8138 is nich 6,156 -.-

16.06.2007, 18:41

Bjoern1982

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Huch, da hab ich auch was übersehen Hammer

Hammer

Zitat:

$\begin{eqnarray*} - \frac{9}{4} x \cdot lnx + \frac{1}{8} x^2 +2x \end{eqnarray*}$

Das x nach -9/4 muss weg, denn das ist einfach ein konstanter Faktor, der mitgeschleppt wird.

16.06.2007, 18:49

TotalerMatheLoser

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achso na dann sieht die sache auch gleich ganz anders aus, stimmt dann, danke Mit Zunge

Mit Zunge

16.06.2007, 19:04

Bjoern1982

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Freut mich Wink

Wink

Viel Erfolg weiterhin.

Gruß Björn

16.06.2007, 19:06

TotalerMatheLoser

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aber bei 2) komm ich auch nich auf das ergebnis Forum Kloppe

Forum Kloppe

ich hab die Grenzen [1;3]...oder is da noch ne NST dazwischen..ne..häää??? ich sollte aufhören mir hoffnungen zu machen mathe zu verstehen traurig

traurig

16.06.2007, 19:11

Bjoern1982

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Nicht aufgeben Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wie lautet denn die genaue Aufgabenstellung und was soll als Lösung rauskommen ?

Björn

16.06.2007, 19:16

TotalerMatheLoser

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ich hab ja leider keinen scanner sonst könnte ich die zeichnung posten, aber ich soll den flächeninhalt von 2) mit den grenzen 1 und 3 ausrechnen, da soll 1/1/3 rauskommen

16.06.2007, 19:20

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{6(x-1)}{x^3}=\frac{6x-6}{x^3}=\frac{6x}{x^3}-\frac{6}{x^3}=\frac{6}{x^2}+\frac{6}{x^3}=6x^{-2}+6x^{-3} \end{eqnarray*}$

Tut mir so leid...auch hier hab ich einen Abschreibfehler drin....is wohl nicht mein Tag geschockt

geschockt

Aber du siehst jetzt bestimmt wie es richtig lauten muss oder ?

16.06.2007, 20:12

TotalerMatheLoser

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ja hast anstelle von minus plus gemacht, dann kommt da das richtige ergebnis jetzt auch raus +puh+ ich steck dich schon an, wa Willkommen

Willkommen

in meiner welt Big Laugh

Big Laugh

16.06.2007, 20:15

Bjoern1982

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Hehe, so siehts aus smile

smile

Also nochmal selbst vorher drüber schauen und nicht blind abschreiben Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß Björn

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