ortogonalität von Geraden zur Ebene

11.06.2007, 11:31	sardara	Auf diesen Beitrag antworten »
ortogonalität von Geraden zur Ebene hi ich habe zwei voll schwere aufgaben wo ich echt keinen anfang finde 1. g soll senkrecht auf e sein $\begin{eqnarray} E:2x-7y+z=-2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g:x=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} +k\begin{pmatrix} 2 \\ -7 \\1- \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ 2. g ermitteln durch $\begin{eqnarray} P(0/-3/4) \end{eqnarray}$ und senkrecht zur ebene $\begin{eqnarray} E:2x-y+3z=1 \end{eqnarray}$ Währe toll wenn mir jemand helfen könnte eine kleine frage nebenbei ist der Durchstoßpunkt der geraden durch die ebene gleich der Schnittpunkt zwischen g und E?
11.06.2007, 11:38	sardara	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ortogonalität von Geraden zur Ebene kann es sein das man bei der 2. aufgabe nur den normalenvektor von E nehmen muss und den dann mit dem punkt p und unter der verwendung der zweipunktegleichung die gerade erhält die dann senkrecht zu E ist und durch P geht?
11.06.2007, 11:49	brunsi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ortogonalität von Geraden zur Ebene aufgabe 1: wenn g senkrecht auf e stehen soll, dann muss der Richtungsvektor von g senkrecht zum Normalenvektor von e stehen. du musst also auf orthogonalität hin untersuchen aufgabe 2: du nimmst deinen Punkt P als Stützvektor der Geraden. und deinen Normalenvektor der Ebene als Richtungsvektor von g fertiG!!!
11.06.2007, 12:02	sardara	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ortogonalität von Geraden zur Ebene 1. $\begin{eqnarray} E:2x-7y+z=-2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n=\begin{pmatrix} 2 \\ -7 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g:x=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}+k\begin{pmatrix} 2 \\ -7 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} RV=\begin{pmatrix} 2 \\ -7 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ dann auf orthogonalität untersuchen also $\begin{eqnarray} nRV = 0 \end{eqnarray}$ ( soll das skalar sein) und da sieht man dann das es nicht null werden kann das heißt dann das g und E nicht senkrecht sind oder? 2. $\begin{eqnarray} E:2x-y+3z=-2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(0/-3/4) \end{eqnarray}$ dann ist die gerade die oder? $\begin{eqnarray} g:x=\begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
11.06.2007, 12:12	brunsi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ortogonalität von Geraden zur Ebene zu 2. hätte ich auch so gemacht zu 1: warum können sie dann nciht senkrecht zu einander sein?? der Normalenvektor der Ebene steht doch immer senkrecht auf ihr. Somit steht er doch senkrecht zu beiden Spannvektoren der Ebene. Folglich muss dann auch der Richtungsvektor der geraden senkrehct zud en beiden Spannvektoren stehen. das ist doch nur der fall, wenn k=1 ist. denn dann sind richtunsgvektor und normalenvektor identisch. edit: du hast natürlich recht, von deiner betrachtungsweise her. die beiden vektoren stehen nicht senkrecht auf einander. was folgt denn daraus, dass sie nicht senkrecht aufeinander stehen??? edit2: dir wird dabei vielleicht helfen: wenn Richtungsvektor der Geraden und Normalenvektor der Ebene parallel laufen. was folgt denn aus dieser Beziehung???
11.06.2007, 12:17	sardara	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ortogonalität von Geraden zur Ebene also heißt es, dass g und E senkrecht sind weil der RV und der Normalenvektor gleich identisch sind
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11.06.2007, 12:21	sardara	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ortogonalität von Geraden zur Ebene heißt es das die dann identisch sind, also g in E liegt?
11.06.2007, 12:23	brunsi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ortogonalität von Geraden zur Ebene ja das kannst du dir an einem beispiel verdeutlichen. Nimm ein Blatt Papier und lege es vor dir auf den Tisch. Dieses Blatt soll deine Ebene E darstellen. Dann weißt du, dass der Normalenvektor der Ebene E immer senkrecht auf ihr steht. Nimm also einen Stift und stelle ihn auf dein Blatt. Nun nimmst du noch einen weiteren Stifft. dieser soll den Richtungsvektor der Geraden darstellen. Was ist, wenn er senkrecht auf der Ebene steht??? Dann hat er doch genau den Gleichen winkel zur Ebene E wie der Normalenvektor zur Ebene E. beide stehen senkrecht auf ihr. Aus der Parallelität erkennst du dann, dass Gerade und Ebene E zu einander senkrecht verlaufen, wenn Normalenvektor der Ebene und Richtungsvektor der Geraden in zu einander parallel verlaufen. Parallität folgt aus der untersuchung auf vielfache. edit:1: wenn g in E liegen soll, dann muss sowohl der Stützvektor der Geraden g in E liegen als auch der Richtungsvektor von g parallel zu einem der Spannvektoren, die die Ebene E aufspannen, verlaufen.

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