konvergente Potenzreihen, Konvergenzradius

18.01.2005, 18:20

Anaiwa

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konvergente Potenzreihen, Konvergenzradius

Entwickel die folgenden Funktionen in eine konvergente Potenzreihe mit dem angegeben Entwicklungspunkt Xo, und bestimme deren Konvergenzradius.

$\begin{eqnarray*} 1)~f(x)=x^3-2x^2+1,~x_0=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2)~f(x)=\frac{1}{1-x},~x_0=-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3)~f(x)=3^{2x+1},~x_0=5 \end{eqnarray*}$

Was soll ich hier machen? Soll ich dies Wie die Taylorreihen aufstellen? Und wie berechnet man einen Konergenzradius.

Kann mir das einer an einem anderen Beispiel zeigen?

19.01.2005, 01:37

Mazze

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Die Taylorreihe ist eine Potenzreihe.

Konvergenzradien findest Du genauso wie Du die Konvergenz von "normalen" Reihen untersuchst. Allerdings wirst Du von x abhängige Terme bekommen, für jene musst Du dann entscheiden ob Konvergenz oder Divergenz vorliegt (=1 dann gesondert zu untersuchen).

Ein anderes Beispiel? Na klar doch ^^

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~x^k \end{eqnarray*}$

Ich setz das Quotientenkriterium an, also

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty}\frac{x^{k+1}}{x^k} = \lim_{k \to \infty} x = x \end{eqnarray*}$

Nun, eine Reihe konvergiert wenn der Grenzwert a des Quotientenkriteriums -1 < a < 1 ist. Also folgt für x

|x| < 1 ist die Reihe konvergent

für |x| > 1 ist die Reihe divergent, es fehlen jetzt nur noch die Fälle 1 und -1. Für x = 1 ist sofort klar das die Reihe divergiert, interessanter ist der Fall x = -1. Ich setz einfach nochmal das Quotientenkriterium an

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty}\frac{(-1)^{k+1}}{(-1)^k} \end{eqnarray*}$

=

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} -1 = -1 \end{eqnarray*}$

So wie es aussieht können wir nicht viel darüber sagen was für -1 passiert. Somit wäre vorerst der Konvergenzradius (Interval) = (-1,1). Bei der -1 bin ich mir aber nicht sicher. Für wachsende k alterniert die Reihe zwischen 0 und 1. Ist also nicht wirklich konvergent, würde man die Partialsummenfolge aufstellen hätten wir 2 Häufungspunkte. Also ist sie für -1 schon mal nicht konvergent. Und wenn sie nicht konvergent ist kann sie ja nur divergent sein.

19.01.2005, 16:26

oldwise

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RE: konvergente Potenzreihen, Konvergenzradius
Der Konvergenzradius R ist definiert durch:

$\begin{eqnarray*} R=\frac{1}{\lim_{n\to \infty} \sup \sqrt[n]{\mid a_n \mid}} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} R=\frac{1}{\lim_{n\to \infty} \sup \mid \frac{a_{n+1}}{a_n}\mid} \end{eqnarray*}$

Jede Potenzreihe konvergiert nur für $\begin{eqnarray*} \mid x \mid < R \end{eqnarray*}$ .

Nun mußt du dir also überlegen, für welche R die Folge konvergiert.

Tipp: Das kann man ausrechnen.

19.01.2005, 19:50

Anaiwa

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Was bedeutet das sup vor der Wurzel und wann weiss ich wann ch welches Kriterium anwenden muss?

19.01.2005, 20:12

JochenX

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das soll der limsup für n gegen unendlich sein.
der limsup ist der größte häufungswert.

die folge a_n=(-1)^n z.b. hat den limsup 1, und den liminf (kleinster häufungswert) -1, obwohl sie an sich keinen limes hat.

welches kriteium du anwenden musst, hängt von der folge ab.
hat a_n z.b. fakultäten bietet sich meistens das quotientenkriterium an, aus offensichtlichen gründen.

mfg jochen

edit:

Zitat:

Jede Potenzreihe konvergiert nur für $\begin{eqnarray*} \mid x \mid < R \end{eqnarray*}$ .

stimmt nicht ganz....
sei die potenzreihe z.b. $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~{a_n*(x+1)^n} \end{eqnarray*}$ , so konvergiert das ganze für $\begin{eqnarray*} \mid x+1 \mid < R \end{eqnarray*}$

19.01.2005, 20:21

Anaiwa

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also würde die potenzreihe für $\begin{eqnarray*} 1)~f(x)=x^3-2x^2+1,~x_0=1 \end{eqnarray*}$

so heissen:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^3-2x^2+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(1)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0/0!=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=3x^2-4x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(1)=-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -1/1!=-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=6x-4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(1)=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2/2!=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^3(x)=6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^3(1)=6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6/3!=1 \end{eqnarray*}$

-->

Potenzreihe:

$\begin{eqnarray*} 0-1(x-1)+1(x-1)^2+1(x-1)^3 \end{eqnarray*}$

schoen und gut, aber wie soll ich von der nun summen zeichen aufreihn so etwa?

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=??}^{??}~-a_n(x-x_0)^n \end{eqnarray*}$

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19.01.2005, 20:29

JochenX

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wo ist das problem?
deine a_n hast du ja jetzt....
a_0=0, a_1=-1, a_2=a_3=1, a_i=0 für alle i>3

damit ist das doch dein Taylorpolynom, das da steht..... oder übesehe ich da jetzt etwas?

mfg jochen

19.01.2005, 20:35

Anaiwa

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Zitat:

Original von LOED
wo ist das problem?
deine a_n hast du ja jetzt....
a_0=0, a_1=-1, a_2=a_3=1, a_i=0 für alle i>3

damit ist das doch dein Taylorpolynom, das da steht..... oder übesehe ich da jetzt etwas?

mfg jochen

Meine Aufageb lautet ja:

Eine Potzenreihe zu entwickeln und dern konvergenzradius auszurechnen.

Wie soll ich das denn da das Qutientenkriterum anwenden wenn ich nicht irgendwas mit der summe da schreibe? Irre ich mich? kann ich es denn überhaut nach taylor machen, da ja beim zweiten fkt. so lang ableiten kann iwe ich will ich kommnie auf ne zahle wie in der dritten ableitung bei dem berechneten.

Kanst du nen vorschlag unterbreiten wie ich den radius heir ausrechnen soll?

Kann ja wohl schlecht schreiben:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}0-1((x+1)-1)+1((x+1)-1)^2+1((x+1)-1)^3 \end{eqnarray*}$

19.01.2005, 20:41

JochenX

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bitte stoppe mich wer, wenn ich was falsches sag.
analysis ist meine große schwäche....

also: du hast deine taylorentwicklung:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~{a_n*(x-1)^n} \end{eqnarray*}$
und suchst nun den Konvergenzradius R (a_n siehe oben).
der limsup beim wurzelkriterium, liefert doch eindeutig 0, oder irre ich mich da jetzt?
also ist dein Konvegenzradius unendlich (1/0, bitte nicht im "durch-nukll-teilen-thread" erzählen).
damit hast dann, das |x-1|<unendlich sein muss, und das wäre für alle x.

ich hoffe, das stimmt verwirrt

verwirrt

.

mfg jochen

19.01.2005, 20:44

Anaiwa

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ich weiß nicht ob ich die Potenzriehe richtig aufgestellt habe, und woransiehst du, das du das Wurzelkriterium nehm musst und nicht das quotientennkrieterium?

19.01.2005, 20:47

JochenX

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im endefekt sind die krierien gleichwertig.

nur das quotientenkrierium liefert mit hier halt 0/0 und damit kann ich nichts anfangen.
hingegen n-te WURZEL(0)=0.

die taylorreihe sieht eigentlich gut aus......

mfg jochen

19.01.2005, 20:48

Anaiwa

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$\begin{eqnarray*} 0-1(x-1)+1(x-1)^2+1(x-1)^3 \end{eqnarray*}$

das ist die taylor"potenzreihe"

wie soll ich die nun in die wurzekriterium umwandeln?

19.01.2005, 20:51

JochenX

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das ist ja eine potenzreihe mit der folge a_n=f^n(x0) / n!
und das kriterium wendest du ja auf diese folge an....
würde ich zumindst sagen.....

mfg jochen

19.01.2005, 20:55

Anaiwa

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du meinst die summenformel lautet so:

k=1 weil x0= 1 ist?

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{f^k(x_0)}{k!}\cdot(x-x_0)^k \end{eqnarray*}$

und da weil fakultät steht wurzelkriterium?

19.01.2005, 20:59

JochenX

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naja das vor dem (x-x0)^k ist ja deine folge a_n (die hast ja ausgerechnet und die ableitungen sind ja konstant 0, also auch die a_n)
und die betrachtest du ja bei den konvergenzkriterien....

mfg jochen

19.01.2005, 21:16

Anaiwa

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k=1 weil x0= 1 ist?

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{f^k(x_0)}{k!}\cdot(x-x_0)^k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n\cdot(x-x_0)^n \end{eqnarray*}$ und wie setz ich die formel nun um kannst du mir das zeigen?

19.01.2005, 21:27

JochenX

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k ist nicht fest 1, k läuft von 0 bis unendlich, bzw. bei mir heißt das halt n, das ist ja egal
k ist die laufvariable von deiner summe.
und a_k sind die koeffizienten vor (x-x0)^k, das berechnest du bei der taylorentwicklung eben, wie dus gemacht hast, k-te ableitung, da x0 einsetzen, das ganze durch k! teilen....

eigentlich müsste es unten immer n=0 bis unendlich heißen, denn du fängst ja mit n=0 an, ja da habe ich mich geirrt.

mfg jochen

24.03.2005, 20:21

phi

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Zitat:

sei die potenzreihe z.b. $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~{a_n*(x+1)^n} \end{eqnarray*}$ , so konvergiert das ganze für $\begin{eqnarray*} \mid x+1 \mid < R \end{eqnarray*}$

moin,moin,

ich hätte dazu noch `ne Frage und wollte deswegen nicht ein neuen Thread anfangen, und zwar nehmen wir zum Beispiel 2), also

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$ , das hat um den Punkt Xo=-2 die Taylorreihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty ~3^{-k-1}(x+2)^k \end{eqnarray*}$ , mit Konvergenzradius R=3.

Es gilt also |x+2|<3. Meine Frage ist nun ob man daraus folgern darf dass |x|<R´=1 ...?

24.03.2005, 20:29

AD

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Zitat:

Original von phi
Es gilt also |x+2|<3. Meine Frage ist nun ob man daraus folgern darf dass |x|<R´=1 ...?

Die ... sind das entscheidende: Was willst du für |x|<1 folgern?

(a) Dass dort die Potenzreihe auch konvergiert?

(b) Oder dass das eine andere Darstellung des Konvergenzintervalls ist?

Antworten: (a) Ja, (b) Nein.

|x+2| < 3 ist gleichbedeutend mit -5 < x < 1
|x| < 1 ist gleichbedeutend mit -1 < x < 1

Offenbar enthält das erste Intervall vollständig das zweite, womit (a) bejaht werden kann. Es ist aber echt größer als das zweite, also muss (b) verneint werden.

24.03.2005, 20:41

phi

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Freude

Aahh. Jetzt wird´s mir klar. Danke Arthur.

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