Gleichung durch Gleichung dividieren

11.06.2007, 13:07

Airblader

Gleichung durch Gleichung dividieren

Hiho,
wir hatten heute in Physik einen Rechenschritt, der mir so bisher irgendwie nicht begegnet ist und den ich mir noch nicht erklären kann.

Kann man jemand evtl. sagen oder einen Link geben, worin die Begründung liegt, dass man 2 Gleichungen einfach dividieren darf?

Das sah in etwa so aus (nur andere Bezeichnungen)

$\begin{eqnarray*} I: x^2 + y^2 = kz^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} II: x + y = kz \end{eqnarray*}$

Und nun I durch II:

$\begin{eqnarray*} x + y = z \end{eqnarray*}$

Danke schonmal,

air

11.06.2007, 13:15

brunsi

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RE: Gleichung durch Gleichung dividieren
hätte jetzt irgendetwas mit potenzgesetzen gesagt. aber das funktioniert ja nur, wenn die verknüpfung eine multiplikation ist und keine addition.

das kann doch niemals dabei herauskommen

11.06.2007, 13:32

Airblader

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Also wenns genauer gefragt ist: Es ging um Impulserhaltung / vollkommen elastischer Stoß.

$\begin{eqnarray*} I: v_1^2 - u_1^2 = ku_2^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} II: v_1 - u_1 = ku_2 \end{eqnarray*}$

Dividieren und dann hat man eben $\begin{eqnarray*} v_1 - u_1 = u_2 \end{eqnarray*}$

air

11.06.2007, 13:40

Dunkit

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das ist falsch.
wenn du die eine Gelichung durch die andere teilst, kommt sicher nicht das raus.
Teste zum beispiel mal mit den werten $\begin{eqnarray*} v_1 = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_1 = 2 \end{eqnarray*}$ .
Was ist in der aufgabe überhaupt vorgegeben und was unbekannt?

11.06.2007, 13:41

Airblader

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v1 ist bekannt, u1 und u2 gesucht. k ist ein Massenverhältnis (m2/m1).

v1 und v2 (wobei v2=0 und hier nicht mehr vorkommend) sind Geschw. vor dem Stoß, u1 und u2 die entspr. Geschw. nach dem Stoß.

air

Edit:
Es wird übrigens mit Binomi gearbeitet:

$\begin{eqnarray*} I: v_1^2 - u_1^2 = ku_2^2 \Rightarrow (v_1 - u_1)(v_1 + u_1) = ku_2^2 \end{eqnarray*}$

Im Buch steht das auch so. Als "Schritt" steht nebendran: "Wir teilen jede Seite der ersten Gleichung durch die der zweiten".

Verständlicher machts das für mich nicht, denn äquivalent ist es immernoch nicht.

air

11.06.2007, 13:48

Dunkit

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gut, was hälst du hiervon:
$\begin{eqnarray*} u_1 = v_1 - ku_2 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} u_2 = \sqrt{\frac{v_1 ^2 - u_1 ^2}{k}} \end{eqnarray*}$

die zweite in die erste einsetzen und schon kannst du u1 bestimmen und dann anschließend u2. vorrausgesetzt du kennst k?!

11.06.2007, 13:51

Airblader

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Ja, k ist bekannt. Die Gleichung zu lösen ist auch garnicht das Problem.

Ich will einfach diesen Schritt von unserm Lehrer / Buch nachvollziehen Augenzwinkern

siehe mein Edit 2 Posts weiter oben.

air

11.06.2007, 13:57

Dual Space

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Zitat:

Original von Airblader
$\begin{eqnarray*} I: v_1^2 - u_1^2 = ku_2^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} II: v_1 - u_1 = ku_2 \end{eqnarray*}$

Dividieren und dann hat man eben $\begin{eqnarray*} v_1 - u_1 = u_2 \end{eqnarray*}$

Nein. Aber man erhält $\begin{eqnarray*} v_1 + u_1 = u_2 \end{eqnarray*}$ .

11.06.2007, 14:06

Airblader

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Oh tatsächlich. Hatte ausversehen ein Minus aufgeschrieben.

Aber der Schritt ist mir dennoch nicht klar. Mit welcher Begründung dividiert man 2 Gleichungen? verwirrt

air

11.06.2007, 15:38

JoeDenton

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Die Division sieht folgendermaßen aus:

$\begin{eqnarray*} I: v^2_1 - u^2_1 = ku^2_2 \end{eqnarray*}$

Nun teilst du beide Seiten der Gleichung durch $\begin{eqnarray*} k{u_2} \end{eqnarray*}$ und erhältst somit: $\begin{eqnarray*} \frac{v^2_1 - u^2_1}{ku_2} = \frac{ku^2_2}{ku_2} \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} II: v_1 - u_1 = ku_2 \end{eqnarray*}$ gilt lässt sich die Gleichung umschreiben zu $\begin{eqnarray*} \frac{(v_1 + u_1)(v_1 - u_1)}{v_1 - u_1} = \frac{ku^2_2}{ku_2} \end{eqnarray*}$

Aus dieser Gleichung folgt dann kanonisch $\begin{eqnarray*} v_1 + u_1 = u_2 \end{eqnarray*}$

11.06.2007, 16:05

Airblader*

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Ah okay, Danke.

Hatte mir sowas gedacht, aber in der Eile wohl einen Fehler gemacht und es deswegen wieder fallen gelassen.

Also dann vielen Dank, man lernt eben nie aus Augenzwinkern

air

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