Bereichsintegral mit Variablentransformation

11.06.2007, 13:32	gibson	Auf diesen Beitrag antworten »
Bereichsintegral mit Variablentransformation Hi! Ich hänge gerade bei folgender Aufgabe: Bestimmen Sie mittels der Variablentransformation $\begin{eqnarray} u = xy \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v = y/x \end{eqnarray}$ den Wert des Bereichsintegrals $\begin{eqnarray} \int\int_{B}~(x + y^2) dxdy \end{eqnarray}$ im Bereich $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ der von den vier Kurven $\begin{eqnarray} y = \frac{1}{3x} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} y = \frac{3}{x} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} y = \frac{x}{3} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y = 3x \end{eqnarray}$ berandete Bereich ist. Nun, ich kenne die Grenzen und kann damit auch das Integral berechnen. nur weiß ich nicht, wozu die Variablentransformation gut ist. Ich würde verstehen, wenn man x und y substituieren müsste, aber hier ist ja u und v gegeben. Ich verstehe nicht, wie man das angehen soll... kann mir jemand helfen? gibson
11.06.2007, 14:27	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du dir den Integrationsbereich schon einmal eingezeichnet? Zunächst vermute ich, daß es nur um den Bereich $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ geht, der im I. Quadranten liegt. $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ wird dann durch die Ungleichungen $\begin{eqnarray} y \leq \frac{3}{x} \, , \ \ y \geq \frac{1}{3x} \, , \ \ y \leq 3x \, , \ \ y \geq \frac{1}{3} \, x \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x,y > 0 \end{eqnarray}$ beschrieben. Eine Zeichnung zeigt dir das. Und jetzt bringe in allen vier Ungleichungen $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ auf die linke Seite und verwende die Variablentransformation. Dann erkennst du den Sinn der Transformation. Zur Berechnung des Integrals mußt du die Transformationsregel verwenden. Löse dazu die Gleichungen $\begin{eqnarray} u = xy \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v = \frac{y}{x} \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ auf, so daß diese Größen nur noch von $\begin{eqnarray} u,v \end{eqnarray}$ abhängen. Das ist nicht weiter schwer und führt auf einfache Wurzelausdrücke.
11.06.2007, 16:54	gibson	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, die Integrationsgrenzen warn mir klar. ich hab auch schon den bereich, welcher im ersten quadranten liegt, aufgezeichnet. Trotzdem versteh ich das mit u und v noch nicht. Die Gleichungen $\begin{eqnarray} u = xy \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v = \frac{y}{x} \end{eqnarray}$ kann man doch nicht nach $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ auflösen, so dass sie nur mehr von u und v abhängen. oder meinst du das so: $\begin{eqnarray} y \leq \frac{3}{x} \, , \ \ y \geq \frac{1}{3x} \, , \ \ y \leq 3x \, , \ \ y \geq \frac{1}{3} \, x \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} yx \leq 3 \, , \ \ yx \geq \frac{1}{3} \, , \ \ y/x \leq 3 \, , \ \ y/x \geq \frac{1}{3} \end{eqnarray}$ und daraus ergibt sich: $\begin{eqnarray} 1/3 \leq u \leq 3 \, , 1/3 \leq v \leq 3 \, \end{eqnarray}$
11.06.2007, 19:21	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Bereiche hast du jetzt richtig ineinander umgerechnet. In der Tat, in $\begin{eqnarray} uv \end{eqnarray}$ -Koordinaten kann der Bereich $\begin{eqnarray} B: \ \ y \geq \frac{1}{3x} \, , \ \ y \leq \frac{3}{x} \, , \ \ y \geq \frac{1}{3} \, x \, , \ \ y \leq 3x \, ; \ \ x,y > 0 \end{eqnarray}$ ganz einfach beschrieben werden: $\begin{eqnarray} B^{}: \ \ \frac{1}{3} \leq u \leq 3 \, , \ \ \frac{1}{3} \leq v \leq 3 \end{eqnarray}$ (Ist dir übrigens aufgefallen, an welcher Stelle die Voraussetzung $\begin{eqnarray} x,y > 0 \end{eqnarray}$ verwendet wird?) Und gerade das ist der Sinn der Transformation: Die Integrationsgrenzen bei der Integration nach $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ sind jetzt konstant! $\begin{eqnarray} \iint_B~\left( x + y^2 \right)~\mathrm{d}x~\mathrm{d}y = \iint_{B^{}}~\ldots~\mathrm{d}u~\mathrm{d}v = \int_{\frac{1}{3}}^3~\left( \int_{\frac{1}{3}}^3~\ldots~\mathrm{d}u \right)~\mathrm{d}v \end{eqnarray}$ Jetzt mußt du noch den Integranden umrechnen. Bisher hast du $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} x,y \end{eqnarray}$ dargestellt. Du brauchst aber das Umgekehrte, $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} u,v \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} (x,y) = \varphi(u,v) \end{eqnarray}$ Denn die Transformationsformel lautet ja: $\begin{eqnarray} \iint_{\varphi(B^{})}~f(x,y)~\mathrm{d}x~\mathrm{d}y = \iint_{B^{}}~f \left( \varphi(u,v) \right) \cdot \left\| \frac{\partial{(x,y)}}{\partial{(u,v)}} \right\|~\mathrm{d}u~\mathrm{d}v \end{eqnarray}$ Das $\begin{eqnarray} \varphi(B^{}) \end{eqnarray}$ ist gerade $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ . Der Bruch mit den runden $\begin{eqnarray} \partial \end{eqnarray}$ bezeichnet die Funktionaldeterminante von $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ , die Striche sind Betragsstriche. Jetzt brauchst du also noch dieses $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ . Dazu mußt du, wie schon bemerkt, das Gleichungssystem $\begin{eqnarray} u = xy \, , \ \ v = \frac{y}{x} \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} x,y \end{eqnarray}$ auflösen: zwei Gleichungen, zwei Unbekannte $\begin{eqnarray} x,y \end{eqnarray*}$ - das sollte nicht allzu schwer werden.
12.06.2007, 19:06	gibson	Auf diesen Beitrag antworten »
hi! genauso hab ich das gestern auch versucht, allerdings bekomm ich hier einige probleme. Aber zuerst noch zu deiner Verständnisfrage an mich: "(Ist dir übrigens aufgefallen, an welcher Stelle die Voraussetzung $\begin{eqnarray} x,y > 0 \end{eqnarray}$ verwendet wird?)" Naja, dass ist so, weil B im ersten Quadranten liegen soll. =) Also jetzt zu meinem Problem: Ich habe nun $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ umgewandelt: bei $\begin{eqnarray} u = xy \, , \ \ v = \frac{y}{x} \end{eqnarray}$ ergibt sich: $\begin{eqnarray} x = y/v \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} u=y^2/v \ \ \Rightarrow \ \ y_1=\sqrt{uv} \, , \ \ y_2=-\sqrt{uv} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y = vx \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} u=x^2v \ \ \Rightarrow \ \ x_1=\sqrt{u/v} \, , \ \ x_2=-\sqrt{u/v} \end{eqnarray}$ da $\begin{eqnarray} x,y > 0 \end{eqnarray}$ gefortert ist, fallen die lösungen $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_2 \end{eqnarray}$ weg. für $\begin{eqnarray} du \ dv \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \left\| \frac{\partial{(x,y)}}{\partial{(u,v)}} \right\|~\mathrm{d}u~\mathrm{d}v = \frac{\sqrt{\frac{u}{v}}}{2 \cdot \sqrt{uv}}~\mathrm{d}u~\mathrm{d}v \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} f(u,v) \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} f(u,v) = \sqrt{\frac{u}{v}}+u^2v^2 \end{eqnarray}$ naja, alles schön, nur kann man folgendes integral nicht ausrechnen: $\begin{eqnarray} \int_{1/3}^{3}~ \int_{1/3}^{3}~(\sqrt{\frac{u}{v}}+u^2v^2) \cdot (\frac{\sqrt{\frac{u}{v}}}{2 \cdot \sqrt{uv}})~\mathrm{d}u~\mathrm{d}v \end{eqnarray}$ und das ist mein problem
12.06.2007, 20:17	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Da ist erstens ein Fehler drin: Schau dir den zweiten Summanden bei $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ noch einmal an. Und zweitens kann man den Teil, der von der Funktionaldeterminante kommt, beträchtlich vereinfachen. Das wird ein ganz simpler Term. Übrig bleibt ein Integrand, der sich also Summe von Potenzen mit gebrochenen Exponenten schreiben läßt. Das ist Elementarintegration! Ergebnis (mit CAS): $\begin{eqnarray} \frac{88}{9} \end{eqnarray}$
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12.06.2007, 20:44	gibson	Auf diesen Beitrag antworten »
EDIT: verstehe schon!!!!! vielen dank für die hilfe!

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