Konvergenz in der Stochastik

11.06.2007, 16:33

piloan

Konvergenz in der Stochastik

Hi
habe 2 Aufgaben zur stochastischen bzw fast sicheren Konvergenz:

Aufgabe 1.) Seien $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ n=1,2.. unabhaengige ZV mit

$\begin{eqnarray*} P[X_n=1]=\frac{1}{n^{\alpha}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P[X_n=0]=1-\frac{1}{n^{\alpha}} \end{eqnarray*}$

ZZ:

Teil 1.)Sei $\begin{eqnarray*} \alpha>1 \end{eqnarray*}$ dann gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow \infty}X_n=0 \end{eqnarray*}$ fast sicher.

Teil 2.)Sei $\begin{eqnarray*} 0<\alpha \leq1 \end{eqnarray*}$ dann gilt $\begin{eqnarray*} \limsup_{n\rightarrow \infty}X_n=1 \end{eqnarray*}$ fast sicher.

Aufgabe 2.)
Ausserdem hab ich wieder unabhaengig exponentialverteilte ZV mit Parameter 1.Es wird definiert $\begin{eqnarray*} M_n=\max\{X_1,...,X_n\} \end{eqnarray*}$

Teil 1.)Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \limsup_{n\rightarrow \infty}X_n/log(n)\leq 1 \end{eqnarray*}$ fast sicher

Teil 2.)Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \limsup_{n\rightarrow \infty}M_n/log(n)\leq 1 \end{eqnarray*}$ fast sicher

Teil 3.)Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow \infty}X_n/log(n)= 1 \end{eqnarray*}$ fast sicher

OK meine Lösungsvorschlaege:

Um eine fast sichere Konvergenz nachzuweisen muss ich zeigen,dass
$\begin{eqnarray*} P(\{\omega: \lim_{n\rightarrow \infty}X_n(\omega)=X(\omega)\})=1 \end{eqnarray*}$

damit folgt fuer unsere Aufgaben
Aufgabe 1.)
Teil 1.)
$\begin{eqnarray*} P[\lim_{n\rightarrow \infty}X_n=0]=\lim_{n\rightarrow \infty}(1-\frac{1}{n^{\alpha}})=1-0=1 \end{eqnarray*}$
Teil2.)
Hab ich mit dem Satz von Borel-Cantelli begruendet:
Für $\begin{eqnarray*} A:=\limsup X_n \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \sum_{n \geq 1}~{P(X_n=1)}=\infty \end{eqnarray*}$ , denn die Reihe $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{\alpha}} \end{eqnarray*}$ divergiert fuer die angegebenen Alphas.Hieraus folgt $\begin{eqnarray*} P(A=1)=1 \end{eqnarray*}$

Aufgabe 2.)
Teil 1.) Hab erstmal ein wenig alles umgeformt.... komme so auf

$\begin{eqnarray*} P(\frac{X_n}{logn}\geq x)=n^{-x} \end{eqnarray*}$

dann gilt
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~P(\frac{X_n}{logn}\geq x) =\infty \end{eqnarray*}$ fuer $\begin{eqnarray*} x\leq 1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} < \infty \end{eqnarray*}$ fuer x>1.

Wieder Borelli C. angewandt bring mich zu
$\begin{eqnarray*} P(\limsup\{\frac{X_n}{logn}\geq x\})= 1 \end{eqnarray*}$ fuer $\begin{eqnarray*} x\leq 1 \end{eqnarray*}$ und 0 fuer x>1.

Nun folgt dann noch

$\begin{eqnarray*} P(\limsup_{n\rightarrow \infty}\frac{X_n}{logn}\leq 1)=P(\{\limsup_{n\rightarrow \infty}\frac{X_n}{logn}>1\}^c)=1 \end{eqnarray*}$

Teil 2,3 bin ich mir nicht ganz sicher wie ich mit dem Maximum umgehen soll ...eifnach aehnlich rechnen?..bitte um hilfe....ausserdem wuerde ich mich freuen falls mir einer eine rueckmeldung auf meine Rechnungen gibt...
danke smile

11.06.2007, 16:45

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RE: Konvergenz in der Stochastik

Zitat:

Original von piloan
Aufgabe 1.)
Teil 1.)
$\begin{eqnarray*} P[\lim_{n\rightarrow \infty}X_n=0]=\lim_{n\rightarrow \infty}(1-\frac{1}{n^{\alpha}})=1-0=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow \infty}(1-\frac{1}{n^{\alpha}})=1-0=1 \end{eqnarray*}$ gilt sogar für alle $\begin{eqnarray*} \alpha>0 \end{eqnarray*}$ .

Wenn deine Argumentation (also die erste Gleichheit in der Zeile) stimmen würde, dann könntest du sie doch auch auf $\begin{eqnarray*} 0<\alpha<1 \end{eqnarray*}$ (Teil 2) anwenden...

Da stimmt also was nicht. Nimm lieber Borel-Cantelli, den "anderen" Fall, also $\begin{eqnarray*} \sum P(A_i) < \infty \end{eqnarray*}$ usw.

11.06.2007, 17:13

piloan

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Ok...aber muss ich dann nicht wieder mit "gleich" unendlich argumentieren

$\begin{eqnarray*} \sum_{n\geq 1}~P(X_n=0)=\sum_{n\geq 1}(1-1/n^{\alpha})= \infty \end{eqnarray*}$ (was nur fuer $\begin{eqnarray*} \alpha>1 \end{eqnarray*}$ gilt) dann ist $\begin{eqnarray*} P(A)=1 \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} A:=\limsup X_n \end{eqnarray*}$ ...naja...eigentluch wollte ich ja $\begin{eqnarray*} \lim X_n =0 \end{eqnarray*}$ fast sicher beweisen und nicht supremum unglücklich

11.06.2007, 18:53

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Wenn du beweist, dass es unendlich viele Nullen in der Folge gibt, hast du gar nichts gekonnt.

Sondern du beweist mit Borel-Cantelli, dass es mit Wkt 1 höchstens endlich viele Einsen in der Folge $\begin{eqnarray*} X_1,X_2,\ldots \end{eqnarray*}$ gibt!

P.S.: Das nächste mal gleich hier die Frage stellen, und nicht da. Ok, war nur Spaß - ein bisschen Eigenwerbung muss schon sein. smile

11.06.2007, 19:31

piloan

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Ja mach ich ... smile

...
Also
$\begin{eqnarray*} \sum P(X_n=1) < \infty \end{eqnarray*}$ da diesmal die Reihe konvergiert. $\begin{eqnarray*} P(A)=1 \end{eqnarray*}$
damit ist die Wahrscheinlichkeit ,das hoechstens endlich viele ZV den Wert 1 annehmen endlich ist. Daraus folgt dann $\begin{eqnarray*} \lim X_n =0 \end{eqnarray*}$ fast sicher

11.06.2007, 19:42

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Genauso.

11.06.2007, 19:47

piloan

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alles klar ...danke ... smile

falls dir dann was zu aufg 2 einfaellt und mein erster teil dazu richtig ist, dann waer ich sehr erfreut Augenzwinkern

...hat aber auch noch ein wenig zeit smile

13.06.2007, 15:02

piloan

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sooooo
hab mich nochmal damit beschaeftigt:

$\begin{eqnarray*} Y:=\limsup X_n / logn \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(\frac{X_n}{logn}\geq x)=n^{-x} \end{eqnarray*}$

dann gilt
$\begin{eqnarray*} $$\sum_{n=1}^{\infty}~P(\frac{X_n}{logn}\geq x) =\left\{\begin{array}{cc}\infty,&\mbox{ if } x \leq 1\\ <\infty, &\mbox{ if } x>1\end{array}\right.$$ \end{eqnarray*}$

Wieder Borelli C. angewandt bring mich zu
$\begin{eqnarray*} $$P(\limsup\{\frac{X_n}{logn}\geq x\})= \left\{\begin{array}{cc}1,&\mbox{ if } x \leq 1\\ 0, &\mbox{ if } x>1\end{array}\right.$$ \end{eqnarray*}$ .

Nun folgt dann noch

$\begin{eqnarray*} P(Y\leq 1)=1-P(Y>1)=1 \end{eqnarray*}$

Erstma, stimmt das so ? ( Uns wurde gesagt, es reicht zu zeigen, dass nur endlich viele Ereignisse X_n/log n>1+Epsilon stattfinden. Habe ich ja auch gemacht... nur ich habe kein Epsilion dazugenommen.

Wie verfahre ich nun mit dem Maximum der Menge...soll schon aus Teil 1 hervorgehen.
Grüße

14.06.2007, 18:17

piloan

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Vielleicht kann sich das nochmal jemand anschauen?!

Fuer b) hab ich mir nun gedacht ,dass ich genau so argumentieren kann wie unter a)

denn die Summe
$\begin{eqnarray*} $$\sum_{n=1}^{\infty}~P(\frac{M_n}{logn}\geq x) =\left\{\begin{array}{cc}\infty,&\mbox{ if } x \leq 1\\ <\infty, &\mbox{ if } x>1\end{array}\right.$$ \end{eqnarray*}$

hat das gleiche Verhalten im Unendlichen wie die Summe aus dem ersten Teil.

Denn $\begin{eqnarray*} P(\frac{M_n}{logn}\geq x)=n^{-x} \end{eqnarray*}$

der rest sollte analog zu teil a sein

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