Ringe

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Shadow86 Auf diesen Beitrag antworten »
Ringe
Sei R ein Ring und f ein Polynom über R, d.h. Für welche Ringe gelten die folgenden Aussagen?

1. Es seien . Dann haben f und g einen ggT in R[x]
(a)
(b)

Ich würde a ankreuzen, weil 8 es im Gegensatz zu 13 keine Primzahl ist. Habe aber keine Ahnung, 1 kann auch ggT sein. Oder hat das mit der Primzahl nichts zu tun?

2. Es sei . Dann gibt es mit f=qg+r und deg(r)<deg(g) oder r=0
(a)
(b)
(c)

a denke ich stimmt, bei b und c weiß ichs nicht.

3. Es seien . Dann gibt es mit ggT(f,g) = u*f+v*g
(a)
(b)

Ich denke (a) ist richtig und bei (b) gehts denke ich auch, bin mir aber nicht sicher.

4. Ist eine Nullstelle von f, so gilt (x-a) teilt f.
(a)
(b)
(c)

Das gilt vermutlich für (a) und ich denke auch für (c), weil das ein Körper (19 Primzahl) ist, aber bin mir ebenfalls nicht sicher...

Kann mir da jemand weiterhelfen?
Shadow86 Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso wurde das verschoben? Hab ich es versehentlich in eine falsche Rubrik gestellt gehabt? Ich hatte die Aufgabe eigentlich bei Zahlentheorie. Naja egal...

Benötige immer noch Antworten auf die Fragen. Danke
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

da sonst niemand antwortet, wage ich mal einen Anfang. Allerdings ohne Gewähr Augenzwinkern

1) Also b) auf jeden Fall. Zu a) würde ich eher "Nein" sagen, kann es aber nicht auf die Schnelle begründen.

2) Der Polynomring über einem Körper ist ein euklidischer Ring. Ich würde daher a) und c) sagen.

3) b) ziemlich sicher, denn Q ist ein Körper, also viel "stärker" als Z.

4) Was ist R? Wieder ein Polynomring?

Ach ja, das ist mehr Algebra als Zahlentheorie Augenzwinkern


Gruß, therisen
Shadow86 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von therisen
4) Was ist R? Wieder ein Polynomring?


Es hieß: Sei R ein Ring und f ein Polynom über R, d.h. . Das bezog sich auf alle Aufgaben
Shadow86 Auf diesen Beitrag antworten »

bei (4)

Ist alpha eine Nullstelle von f, so gilt: (x-alpha) teilt f, das gilt doch nur für und , oder?
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