Extremwertaufgabe

11.06.2007, 21:17

Simeon89

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Extremwertaufgabe

Hallöle, hier das Mathegenie mal wieder am Werk Hammer

Hammer

Hab ne Aufgabe zu morgen bekommen, die ich, mal wieder logisch, nicht versteh und verstehen möchte, da sie ziemlich einfach ist, aber irgendwo ist da eine Blockade in meinem $\begin{eqnarray*} 5²cm\cdot \infty intelligenz \frac{5}{b} \in \end{eqnarray*}$ Gehirn, die alle Matheaufgaben die ein bisschen komplexer sind nicht durchlässt böse

böse

! Genug geschwafelt:

(Aufgabe 3)
Gegeben sind die Funktionen $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{4} x³-3x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{1}{4}x²-8 \end{eqnarray*}$ .
Die Gerade mit der Gleichung x=u mit u>-4 schneidet die beiden Schaubilder in P und Q.
Für welches u nimmt die Länge der Stecke PQ einen Extremwert an?

Naja, wenns richtig ist hab ich erstmal die beiden Funktionen gleichgesetzt:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{4} x³-3x \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{1}{4}x²-8 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} /- \frac{1}{4}x² /+ 8 \end{eqnarray*}$

und da kommt dann

$\begin{eqnarray*} f(u)=\frac{1}{4}x³-\frac{1}{4}x²-3x+8 \end{eqnarray*}$

raus, oder?

Könnt ihr mir weiter auf die Sprünge helfen?
Danke im voraus, Simeon!

11.06.2007, 21:32

Orakel

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RE: Extremalwertaufgabe
ich würde sagen, du definierst eine neue funktion

$\begin{eqnarray*} h(x)=f(x)-g(x) \end{eqnarray*}$

und bestimmst von h(x) das maximum für x>-4

11.06.2007, 21:33

Dorika

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Hey, ok, dann weißt du ja, dass

$\begin{eqnarray*} P(u;\frac{1}{4}u³-3u) \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} Q(u;\frac{1}{4}u²-8) \end{eqnarray*}$

dann suchen wir die gerde durch diese beiden punkte
u einfach wie x behandeln Augenzwinkern

Augenzwinkern

EDIT

also $\begin{eqnarray*} y=mx+b \end{eqnarray*}$
die steigung m errechnest du über die 2 punkte form, sollte alles machbar sein

EDIT 2

ahja, hab das mal geplottert...http://www.matheboard.de/plotter.php?f=x...3A10&y=-10%3A10

11.06.2007, 21:38

Orakel

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@Dorika:

beachte, dass die verbindungslinie von P zu Q senkrecht ist, also einen unendlichen anstieg hat!!!

@Simeo89:

x>-4 reicht noch nicht aus. man muss x auch von oben beschränken, z.B. x<M und M ist irgendeine konstante!

11.06.2007, 21:42

Dorika

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verdammt, wovon bin ich den ausgegangen?

ok, dann halte ich mich mla besser raus Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.06.2007, 22:12

Simeon89

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wenn ich ehrlich bin, versteh ich jetzt nicht genau, was sache ist unglücklich

unglücklich

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12.06.2007, 11:39

Orakel

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was genau verstehst du bei meinem ansatz nicht?

12.06.2007, 11:54

riwe

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RE: Extremalwertaufgabe

Zitat:

Original von Simeon89
Hallöle, hier das Mathegenie mal wieder am Werk Hammer

Hammer

Hab ne Aufgabe zu morgen bekommen, die ich, mal wieder logisch, nicht versteh und verstehen möchte, da sie ziemlich einfach ist, aber irgendwo ist da eine Blockade in meinem $\begin{eqnarray*} 5²cm\cdot \infty intelligenz \frac{5}{b} \in \end{eqnarray*}$ Gehirn, die alle Matheaufgaben die ein bisschen komplexer sind nicht durchlässt böse

böse

! Genug geschwafelt:

(Aufgabe 3)
Gegeben sind die Funktionen $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{4} x³-3x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{1}{4}x²-8 \end{eqnarray*}$ .
Die Gerade mit der Gleichung x=u mit u>-4 schneidet die beiden Schaubilder in P und Q.
Für welches u nimmt die Länge der Stecke PQ einen Extremwert an?

Naja, wenns richtig ist hab ich erstmal die beiden Funktionen gleichgesetzt:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{4} x³-3x \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{1}{4}x²-8 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} /- \frac{1}{4}x² /+ 8 \end{eqnarray*}$

und da kommt dann

$\begin{eqnarray*} f(u)=\frac{1}{4}x³-\frac{1}{4}x²-3x+8 \end{eqnarray*}$

raus, oder?

Könnt ihr mir weiter auf die Sprünge helfen?
Danke im voraus, Simeon!

$\begin{eqnarray*} f(u)=\frac{1}{4}u³-\frac{1}{4}u²-3u+8 \end{eqnarray*}$

und wieso weigerst du dich, das einfach zu differenzieren verwirrt

verwirrt

12.06.2007, 20:22

Simeon89

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Zitat:

Original von Orakel
was genau verstehst du bei meinem ansatz nicht?

Ich weiß nicht genau, was ich machen muss, d.h., welche Formel anwenden, Rechenweg und so!

@riwe
ja schuldigung das hatte ich vergessen, ist aber eh falsch, von daher smile

smile

12.06.2007, 21:40

Orakel

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na ja, also du definierst wie oben erwähnt

h(x):=f(x)-g(x).

anschaulich ist klar: in einem fixierten punkt x>-4 gibt h(x) den abstand der funktionswerte f(x) zu g(x) an. mit anderen worten heißt das: wenn man diejenige stelle x=u bestimmt, in denen h(u) maximal ist, so hat man jenes x=u gefunden, für das der abstand zwischen P und Q maximal wird.

um dieses x=u zu finden, musst du die funktion h 1 mal nach x ableiten und dann die 1. ableitung null setzen. die lösung(en) dieses polynoms bilden die menge derjenigen punkte, in dennen ein extremuj eintreten kann. ob es sich dabei um ein maximum oder ein minimum (oder keines von beiden) handelt, musst du mit hilfe der 2. ableitung entscheiden!

mach dich mal ran!!! smile

smile

12.06.2007, 21:56

Simeon89

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danke!

soll heißen:
h(x):=1/4x³-3x - 1/4x²-8 also subtrahieren?

h(x)=1/4x³-1/4x²-3x-8 geschockt

geschockt

h'(x)=3/4x²-2/4x-3

N.B.? h'(x)=0 => 3/4x²-2/4x-3=0 |Normalisieren und PQ anwenden / :3/4

Ausrechnen und dann die H.B.?

Klingt mir irgendwie zu einfach Lehrer

Lehrer

12.06.2007, 22:02

Orakel

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ist aber der richtige weg!

beachte beim abziehen von g(x) die vorzeichen, da hast du dich bei h(x) vertan (+8 statt -8)

12.06.2007, 22:06

Simeon89

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also ist es sozusagen gleichsetzen, wie ich beim ersten post gemacht habe?

Dann noch H.B. und ich habs? Oder werde ich noch ein blaues wunder erleben? Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.06.2007, 22:09

Orakel

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ein blaues winder erlebst du, wenn du nach dresden fährst smile

smile

rechne mal die in frage kommenden x werte aus!

du kannst dir auch mal den graph von h zeichnen (lassen)!

12.06.2007, 22:19

Simeon89

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Also weiter bei der N.B.

h'(x) = 3/4x²-2/4x-3=0 / :3/4

x²-2/3x-4=0 /P=-2/3 Q=-4

x1~2=1 1/3 $\begin{eqnarray*} \pm \sqrt{1\frac{7}{9} + 4} \end{eqnarray*}$ = 2.40

x1 = 1.33 + 2.40 = 3.73
x2 = 1.33 - 2.40 = -1.07

stimmt das so? klingt falsch traurig

traurig

12.06.2007, 22:48

AnalysisTutor

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also bei mir steht 1/3 vorm +- und nicht 1 1/3. sonst müsste es stimmen.

12.06.2007, 22:55

Simeon89

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aber -2/3 geteilt an 0.5 + vorzeichenwechsel ergeben in meinem TR 1 1/3 verwirrt

verwirrt

12.06.2007, 23:10

AnalysisTutor

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Du solltest durch 2 teilen oder mit 0.5 multiplizieren.
$\begin{eqnarray*} x^2-\frac{2}{3}x-4=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{1/2}=\frac{1}{3} \pm \sqrt{\frac{1}{9}+4} \end{eqnarray*}$

12.06.2007, 23:12

Simeon89

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Du hast recht, danke!

dann kommt 2.02758751 raus...
auf 2 aufrunden? oder es 2.02 übernehmen und mit 0.33 + - rechnen?

12.06.2007, 23:16

AnalysisTutor

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Oh, das ist eine sehr gute Frage. Ich würde sagen, so wie es der Lehrer haben will. Normalerweise verlangt man in der Mathematik genaue Ergebnisse (also unter der Wurzel zusammenfassen und stehen lassen). Man kann aber dahinter mit "ungefähr gleich" auch den ungefähren Wert angeben, stört ja niemanden. Wenn du noch weiterrechnen musst, dann auf jeden Fall mit dem genauen Ergebnis, da du sonst noch mehr Rundungsfehler machst.

12.06.2007, 23:21

Simeon89

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ja gut ich nehme 2.02

x1=0.33+2.02=2.35
x2=0.33-2.02=-1.69

H.B. h'(x)=0 ^ h''(x)ungleich0

h''(2.35)=...... halt mal eine Frage: Ich muss beide x nehmen, oder? und was spielt hier dann noch x>-4 für eine Rolle?

12.06.2007, 23:28

AnalysisTutor

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Zum Einsetzen in h'' hättest du schon das genaue Ergebnis nehmen müssen. Das mit x>-4 hätte dann eine Rolle gespielt, wenn eine Lösung das nicht erfüllt hätte. Dann hätte man sie gleich weggelassen. Ist hier aber nicht der Fall (oder alle haben sich verrechnet, was zu dieser Uhrzeit möglich wäre).

12.06.2007, 23:30

Simeon89

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Das kann in der Tat sein.. wir haben morgen wieder mathe und werden die aufgabe da bestimmt lösen, werde die hier dann zuende bringen!
Sitze hier schon 3 stunden im Board, bin jetzt zu müde Wink

Wink

danke aufjedenfall nochmal

13.06.2007, 09:27

klarsoweit

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Zitat:

Original von Simeon89
ja gut ich nehme 2.02

Also wenn schon runden, dann auf 2,03.

Und so sieht die Sache aus:

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