lineare Abbildungen Hilfe!!!

18.01.2005, 22:20	aiwa	Auf diesen Beitrag antworten »
lineare Abbildungen Hilfe!!! Hallo, ich habe das Thema Unterräume und lineare Abbildungen, womit wir gerade angefangen haben, irgendwie noch nicht richtig verstanden. Ich sitze jetzt schon länger über dieser Aufgabe und weiß irgendwie nicht was ich tun soll. Sei K [T] der Polynomring mit Koeffizienten in K. Für n $\begin{eqnarray} \in \mathbb N \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} P_n \end{eqnarray}$ der Unterraum von K[T] aller Polynome vom Grad höchstens n. Für g= $\begin{eqnarray} \sum_{s=0}^n~c_s T^{s} \end{eqnarray}$ definiert man H(g) = $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n~sc_s T^{s-1} \end{eqnarray}$ und nennt dies formale Ableitung des Polynoms p. Zeige: -Die Abbildung H: K[T] ------> K[T] ist linear und bildet $\begin{eqnarray} P_n \end{eqnarray}$ in sich ab - Bestimme den Rang der Abbildung H: $\begin{eqnarray} P_9 \end{eqnarray}$ ------> $\begin{eqnarray} P_9 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} K = \mathbb R \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} K = \mathbb Z/p\mathbb Z \end{eqnarray}$ (Z modulo pZ) mit p Primzahl ich weiß echt nicht was ich damit tun soll. Wäre echt nett, falls mir jemand helfen könnte
18.01.2005, 22:25	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
p_n wird in P_(n-1) abgebildet! die aussage ist also falsch. (außerdem heißt dein einer laufindex bei der 2. summe falsch) x,y aus dem Vektorraum, a aus dem Grundkörper, für eine lineare abbildung f muss gelten: f(x+y)=f(x)+f(y), f(ax)=af(x) lineare abbildungen sind nichts anderes als vektorraumhomomorphismen. mfg jochen
19.01.2005, 15:26	Tschabba	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, also P_n wird schon irgendwie in P_n abgebildet, nur halt mit c_n=0... Ich hab mich bei der Aufgabe auch ein bisschen gewundert, aber da steht ja "höchstens Grad n", also sollten da auch alle niedrigeren Grades drin sein... TSchabba
19.01.2005, 15:44	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
H bildet $\begin{eqnarray} P_n \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} P_{n-1} \subset P_n \end{eqnarray}$ ab. Die Aussage ist also richtig. Zu zeigen ist, dass durch Ableitung der Grad des Polynoms nie größer werden kann. Die Linearität von H entspricht den bekannten Ableitungsregeln: $\begin{eqnarray} (f + g)' = f' + g' \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (c\cdot f)' = c \cdot f' \end{eqnarray}$ . Dies ist auch nicht schwer nachzuwiesen. (Gab es im Übrigen schon in diesem Board. Versuch mal dein Glück mit der Suchfunktion.) Für den Rang würde ich mal die Standardbasis-Elemente abbilden. Dann könnte man mal überlegen, was passiert, wenn $\begin{eqnarray} g < p \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g \geq p \end{eqnarray}$ . Was passiert beispielsweise mit $\begin{eqnarray} H(x^p), H(x^{c\cdot p}) \end{eqnarray}$ ?
19.01.2005, 16:47	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
so gesehen hast du natürlich recht, tobias....
19.01.2005, 18:59	aiwa	Auf diesen Beitrag antworten »
also schöne dank. Ihr habt mir schon mal gut geholfen. Aufgabenteil a habe ich jetzt auch schon hinbekommen nur bei b habe ich noch kleine probleme Ich muss doch die zehn Polynmoe T^0 bis T^9 als Basisvektorn in eine Matrix bringen oder???? Ich weiß nämlich nicht so genau, wie man das macht. Für einen guten Tip wäre ich nochmal sehr dankbar.
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19.01.2005, 21:54	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
War das ein "g" oder eine "9" ? Ich gehe davon aus, dass es eine 9 ist. Die Standardbasis von $\begin{eqnarray} P_9 \end{eqnarray}$ ist: $\begin{eqnarray} \big\{ 1, T, T^2, T^3, ..., T^9 \big\} \end{eqnarray}$ Eine lin. Abbildung ist durch die Bilder der Basisvektoren eindeutig bestimmt. Wir bilden jetzt ab: $\begin{eqnarray} H(1) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} H(T) = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} H(T^2) = 2\cdot T \end{eqnarray}$ ... $\begin{eqnarray} H(T^9) = 9 \cdot T^8 \end{eqnarray}$ Die Basis, die wir für das Bild erhalten wäre also: $\begin{eqnarray} \big\{ 1, 2T, 3T^2, 4T^3, ..., 9T^8 \big\} \end{eqnarray}$ Der Rang wäre demnach 9 (also eine Dimension geringer als vorher). Haben wir jetzt aber eine Primzahl < 9 (z.B. 7), so entsprich $\begin{eqnarray} 7T^6 = 0T^6 = 0 \end{eqnarray}$ Das nimmt maßgeblich Einfluß auf den Rang!
19.01.2005, 22:46	Tschabba	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, danke ;-)

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