kurvendiskussion,extremwertaufgaben

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cczero Auf diesen Beitrag antworten »
kurvendiskussion,extremwertaufgaben
hallo ich schreibe am dienstag den 19.6 eine mathearbeit.
unser lehrer hat uns ein übungsblatt ausgeteilt.

mit der 1. aufgabe komm ich nicht ganz klar

1) gegeben ist die funktionenschar mit der Gleichung:

(x)=-2tx²+t²x t element R+

a) untersuche das schaubild der Funktionenschar und zeichne (t=3). Auf werlcher Kurve liegen alle Hochpunkte der Schar? Zeichne die Kurve in das gleiche Koordinatensystem.

was ist eine funktionenschar, was muss ich beachten?

danke schonmal im voraus
ddevil Auf diesen Beitrag antworten »
RE: kurvendiskussion,extremwertaufgaben
Funktionenschar bedeutet, dass du unterschiedliche Funktionen erhältst, da du für t unterschieliche Werte einsetzen kannst. Für die Hochpunkte einfach die erste Ableitung von gleich Null setzen, etc., die Koordinaten des Hochpunkts sind von t abhängig.
 
 
cczero Auf diesen Beitrag antworten »

1. ableitung ist doch 3x²-4tx+t²( bitte überprüfen)

diese ableitung nullsetzen und nach x auflösen,oder?
ich habe schon oft eine gesamte kurvendiskusion durchgeführt aber ohne faktor t.

was ist mit den nullstellen?

zu den extrema:

3x²-4tx+t²=0
x(3x-4t)+t²=0
wie geht es weiter?
ddevil Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ableitung ist richtig, mit dem Nullsetzen der ersten Ableitung war das hier gemeint:
3x²-4tx+t²=0
Hier einfach die Lösungsformel für quadratische Gleichungen verwenden.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von cczero
was ist mit den nullstellen?

Klammere x aus. Der Rest ist dann wie bei der Bestimmung der Extremstellen.

Im übrigen frage ich mich, wie ein Lehrer dazu kommt, ein Übungsblatt mit dem Thema "Funktionenschar" auszugeben, und du noch nie etwas davon gehört oder gesehen haben willst? verwirrt
cczero Auf diesen Beitrag antworten »

danke für die antwort. es kann sein dass mein lehrer es schon erklärt hat.
aber komischerweise behalte ich die dinge die ich in diesem forum gesagt bekomme viel besser verwirrt
cczero Auf diesen Beitrag antworten »

so hab jetzt die nullstellen: N1 (0/0),N2 (t/0)
und extrema T(5/3t;0,052t), H (-1/3t/-0,42)
eigentlich sollte man ja meinen der erste wäre ein H und der zweite ein T aber laut 2. ableitung ( in die ich eingesetzt habe) nicht.
wendepunkt bei W(2/3t;0,0052t)
bitte überprüfen
danke
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von cczero
und extrema T(5/3t;0,052t), H (-1/3t/-0,42)

Ich habe andere Extrema.
cczero Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab mit der p,q formel x1 und x2 ausgerechnet: x1: 5/3t x2: -1/3t
und dann in die ausgangsgleichung eingsetzt.
mhh, ich komm auf das gleiche immer wieder...

neue lösung: E1(5/3t;20/27t³), E2 (-1/3t;-16/27t³)
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Tja, dann mußt du wohl mal deine Rechnung hier hinschreiben.
cczero Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab mal meine neue lösungen oben hingeschrieben
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von cczero
ich hab mit der p,q formel x1 und x2 ausgerechnet: x1: 5/3t x2: -1/3t

Du hast mich mißverstanden. Diese Stellen stimmen schon gar nicht.
cczero Auf diesen Beitrag antworten »

okay ich hab den ( oder einen) fehler gefunden.
neuer versuch H (1/3t;4/27t³), T (t;0)
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

OK. Und damit man nicht denkt, daß t bzw. t³ im Nenner steht, sollte man zu Latex greifen:


Prinzipiell müßte man die noch mit der 2. Ableitung überprüfen.
cczero Auf diesen Beitrag antworten »

so hab die funktion nun auch gezeichnet.
wie geht das denn mit der kurve auf denen die hochpunkte sich befinden?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Für jedes t bekommst du einen Hochpunkt, nämlich

Das kann man auch so lesen: Wenn die x-Koordinate t/3 beträgt, dann ist die y-Koordinate 4*t³/27.
Stelle nun die Gleichung x = t/3 nach t um und setze das in die y-Koordinate ein. Dann hängt die y-Koordinate nur von x ab und dann hast du deine Funktion.
cczero Auf diesen Beitrag antworten »

meine lösung: y=4x³

so die 1. aufgabe wäre geschafft. ich rechne die übrigen aufgaben demnächst. ist es erlaubt hier in diesem thread fragen zu den anderen aufgaben zu posten oder soll ich ein neues thema aufmachen?

danke an klarsoweit und ddevil
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von cczero
ist es erlaubt hier in diesem thread fragen zu den anderen aufgaben zu posten oder soll ich ein neues thema aufmachen?

Prinzipiell kannst du weitere Fragen hier posten, wenn sie auch zum Thema passen. Meistens macht es aber Sinn, einen neuen Thread aufzumachen.
cczero Auf diesen Beitrag antworten »

die 2. aufgabe bezieht sich auf die 1. gestellte aufgabe

gib für t=3 die gleichung der tangenten im ursprung an. in welchem weiteren punkt schneidet diese tangente das schaubild ?
alle ursprungsgeraden schneiden das schaubild in mindestens einem punkt . gib die anzahl der schnittpunkte in abhängigkeit der steigung m der geraden an.

ich habe bisher die tangentengleichung y=9x raus und den schnittpunkt mit dem schaubild S(6/54).

mit dem zweiten teil der aufgabe hab ich schwierigkeiten....
danke schonmal
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Die allgemeine Form der Ursprungsgeraden lautet bekanntlich y = m*x.
Jetzt brauchst du die Schnittpunkte dieser Geraden mit der Funktionsschar. Die werden - sofern vorhanden - irgendwie von m abhängig sein.

EDIT: wobei es hier nur um die Funktion zu t=3 geht.
AnalysisTutor Auf diesen Beitrag antworten »

Wie sieht die Gleichung einer Ursprungsgerade i.A. aus? Hinschreiben...
Dann Schnittpunkte mit K3 bestimmen. Diese Hängen von m ab. Auch die Anzahl der Schnittpunkte hängt von m ab.

\edit: da war ich wohl zu langsam beim tippen. smile
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von AnalysisTutor
\edit: da war ich wohl zu langsam beim tippen. smile

Obendrein siehst du an dem "grünen Männchen", daß ich angemeldet bin und mich sicherlich um Rückfragen kümmern werde.
smile
cczero Auf diesen Beitrag antworten »

mhh hab jetzt gleichgesetzt.
habe bei der gleichung des schaubildes x ausgeklamert und durch x geteilt, womit dann das x vor der klammer und das von der ursprunggerade wegfällt.
nun steht noch da: x²-6x+9=m
stimmt das so ? und wie kann ich nach x auflösen?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Durch x zu dividieren ist nicht so schön unglücklich

Man darf ja nicht durch null teilen, so dass man diesen Fall dann noch separat abdecken muss.

Bleib lieber beim ausklammern und benutzte dann den Satz vom Nullprodukt, also dass ein Produkt genau dann null wird wenn einer der beiden Faktoren null wird.

Zitat:
nun steht noch da: x²-6x+9=m


Fasse die linke Seite zu einer binomischen Formel zusammen und ziehe die Wurzel. Es entstehen zwei Lösungen.

Björn
cczero Auf diesen Beitrag antworten »

okay danke

(x-3)²=m
x-3=

muss ich die 3 noch rüberholen?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das musst du und wie gesagt gibt es da zwei Lösungen, denn wenn du die Wurzel ziehst entsteht eine Betragsgleichung.
cczero Auf diesen Beitrag antworten »

x=-3

x=-3

stimmt oder? aber was is mit den 2 lösungen?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein das stimmt nicht.

Mal ein Beispiel:

(x-2)²=9 <=> |x-2|=3 <=> x-2=3 oder x-2=-3 <=> x=5 oder x=-1

Jetzt klarer ?
cczero Auf diesen Beitrag antworten »

gutes beispiel
hoffe ich habs verstanden

x=+3
x=-+3
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja prima, so wirds gemacht smile

Wieviele Lösungen gibt es also insgesamt ? Denn bedenke dass die Gleichung x³-6x²+(9-m)x=0 bzw. x(x²-6x+9-m)=0 3 Lösungen haben kann.

Überlege dir danach was für Fälle auftreten können wenn

1) m>0

2) m<0

3) m=0
cczero Auf diesen Beitrag antworten »

ich versteh nicht ganz wie du auf die 2 oben genannten gleichungen kommst..
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ja ein und dieselbe Gleichung, nur in der zweiten Gleichung hab ich schon x ausgeklammert.

Die Gleichung entsteht einfach wenn man und mx gleichsetzt und dann mx auf die andere Seite bringt.
cczero Auf diesen Beitrag antworten »

okay habs verstanden.

die drei lösungen sind doch 0, und
kannst du vielleicht beim 1. fall ein beispiel machen?
ich steh gerade auf dem schlauch
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Lassen wir die Lösung x=0, die ja unabhängig von m sowieso immer existiert, und an welcher Stelle eh ein Berührpunkt und kein Schnittpunkt vorliegt (wie in der vorigen Aufgabe deutlich wird), außer Acht.

Dann bleiben die zwei Lösungen

oder

Wenn du nun Zahlen für m einsetzt, die postiv sind, wieviele VERSCHIEDENE Lösungen gibt es dann ?

Wenn du für m null einsetzt, wieviele VERSCHIEDENE Lösungen gibt es dann ?

Und was passiert wenn man negative Zahlen für m einsetzt ?
cczero Auf diesen Beitrag antworten »

bei positiven zahlen erhält man unendlich viele
bei negativen zahlen keine lösung und wenn man null einsetzt erhält man 3
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei positiven Zahlen erhält man genau zwei Lösungen, nicht unendlich viele.
Ansonsten stimmts.

Ich muss jetzt zum Sport, werde aber nachher nochmal reinschauen Wink

Gruß Björn
cczero Auf diesen Beitrag antworten »

Wink tschüss viel spaß
wie komm ich die zwei lösungen? wenn ich eine positive zahl für m unter die wurzel einsetze kommt doch immer was anderes raus verwirrt
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du genau eine positive Zahl einsetzt erhälst du auch genau zwei Lösungen, wenn du eine andere positive Zahl einsetzt, erhälst du wieder zwei Lösungen. Du musst das separat sehen, nicht insgesamt alle Lösungen addieren oder sowas.

Merk dir, dass es bei quadratischen Gleichungen immer maximal 2 Lösungen geben kann, also entweder keine, eine oder zwei.

Björn
cczero Auf diesen Beitrag antworten »

okay habs verstanden.
um die aufgabe vollständig zu machen muss ich doch noch den y wert der schnittpunkte berechnen?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Könntest du ja dann eh nur allgemein in Abhängigkeit von m machen, aber das ist in der Aufgabe ja nicht verlangt. Es geht nur um die Anzahl. Du bist also fertig smile

Gruß Björn
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