Aufstellen von Funktionen

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Darkman89 Auf diesen Beitrag antworten »
Aufstellen von Funktionen
Hallo Mathe Board...auch Aufstellen von Funktionen kommt in meiner mündlichen Prüfung dran unglücklich
naja ich habe ein Übungsblatt und da sind drei aufgaben!!
Zunächst mal die erste Aufgabe:

Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion dritten Grades, so dass für den Graphen gilt: W(1;2,3) ist Wendepunkt des Graphen von f, die zugehörige Wendetangente hat die Steigung -2, an der Stelle 3 liegt ein relativer Extrempunkt vor.

ich habe leider wirklich keine Ahnung wie man das macht...brauche da sehr gute Tips!!!
also auf jeden Fall muss man als erstes machen, weil es dritten Grades ist:
ax³ + bx² + cx + d

Danke im Voraus
MfG
Darkman89
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

aus den angaben folgerst du, was für die funktion gelten muss:

erstmal ist wie du richtig gesagt hast:



wenn nun W(1|2,3) ein wendepunkt ist, dann gilt schonmal



desweiteren folgt aus dem wendepunkt noch etwas anderes. denke hierbei an die notwendige bedinung für einen WP.
analog gehst du mit der information über die wandetangente und über den relativen extrempunkt um.

dann hast du insgesatm vier bedinungen, welche dich zu 4 gleichungen mit 4 variablen führen.

dieses lineare gleichungssystem musst du dann lösen.
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufstellen von Funktionen
Hi!

Gut - der Ansatz ist soweit okay: doch wenn es eine Funktion ist, dann muss es heißen: gesucht ist eine Funktion mit

.

Okay? Im anderen Fall ist es ja nur ein Term. Nur als netter Hinweis, da die Lehrer da sonst gerne Punkte abziehen.

Gut - gehen wir das nach und nach durch: du brauchst vier Gleichungen um a,b,c,d zu bestimmen.

Wendepunkt: da weißt du also, dass der Punkt auf dem Graphen liegt, dass heißt



Was heißt es, dass W Wendepunkt ist? Tipp: zweite Ableitung von .

Es liegt eine Tangente im Wendepunkt vor mit der Steigung -2. Tip: erste Ableitung - welche Beziehung besteht da zum Anstieg einer Tangente???

Und Extremstelle: was heißt es, Extremstelle zu sein. Tipp: erste Ableitung null setzen!

Viel Erfolg - melde dich dann bitte wieder mit einigen weiteren Ansätzen.
Darkman89 Auf diesen Beitrag antworten »

hoppla ich habe mich vertippt...
es ist ein wendepunkt bei: W(1;2/3)
also heisst es dann:
f(1) = 2/3
Darkman89 Auf diesen Beitrag antworten »

erste Ableitung:


zweite Ableitung:


Zitat:
Was heißt es, dass W Wendepunkt ist? Tipp: zweite Ableitung von f.

Es liegt eine Tangente im Wendepunkt vor mit der Steigung -2. Tip: erste Ableitung - welche Beziehung besteht da zum Anstieg einer Tangente???

Damit kann ich leider noch net wirklich anfangen...also weiss schon was ihr da meint aber genauer...leider habe ich alles vergessen!!

Extremstelle (erste Ableitung = 0):

muss ich da geteilt durch drei und dann die pq formel anwenden?

THX
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Nun gut - das ändert ja nichts weiter am Sachverhalt. Rechnen musst du trotzdem alleine Augenzwinkern
 
 
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Also, die Gleichungen soweit heißen:



Weißt du warum???

Extremstelle brauchst du ja nicht ausrechnen, sondern die hast du ja schon! Reicht also einfach die Einzusetzen!

Eine Gleichung fehlt noch - du musst die Bedingung mit der Tangente einarbeiten. Beachte dazu den Hinweis von oben!
Darkman89 Auf diesen Beitrag antworten »

für tangente so?:


und ich weiss jetzt woher du die zweite Gleichung hast...das ist ja der Wendepunkt!! (2. ableitung = 0)

THX
Gruss
Darkman89
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufstellen von Funktionen
Nein, es ist



Der Anstieg im Wendepunkt soll doch -2 sein. Der Anstieg ist dort mit dem Anstieg der Tangenten gleich - deshalb gilt diese Beziehung. Du würdest damit ausdrücken, dass an der Stelle ein Extrempunkt liegt!
Darkman89 Auf diesen Beitrag antworten »

Die 4 Gleichungen:







was mache ich damit...habe grad mit der ersten gleichung so gemacht..
Darkman89 Auf diesen Beitrag antworten »

ok dank zellerli in ICQ habe ich die aufgabe hinbekommen!!
VIELEN DANK zellerli Freude
nun da gibts halt noch 2 aufgaben...
Gegeben sind die Funktionen fk mit fk(x) = x³ - 3x² + kx
Zeigen Sie, dass alle Funktionen fk dieselbe Wendestellen haben. Untersuchen Sie, wie k die Existenz und die Lage der relativen Extremstellen von fk beeinflusst.

dies ist die zweite Aufgabe...danke im voruas...und hierzu habe ich leider NULL AHNUNG unglücklich geschockt traurig
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Da ja nach Informationen über Extrem- und Wendestellen gefragt ist berechne diese doch erstmal. Da bei den Extremstellen noch der Parameter k auftauchen wird muss man eine Fallunterscheidung vornehmen.

Wo hängst du denn genau ?

Gruß Björn
Darkman89 Auf diesen Beitrag antworten »

ableitungen:



wendestelle:


jetzt muss ich doch die 1 in der der normalform einsetzen oder?:

was mache ich damit...
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, du musst nichts mehr einsetzen, da ja nur gezeigt werden soll, dass jeder Graph dieselbe Wendestelle besitzt, also an derselben Stelle einen Wendepunkt hat.

Da diese Wendestelle nicht mehr von k abhängt ist das somit auch bewiesen.

Was du noch zeigen müsstest ist, dass die 3. Ableitung auch ungleich null ist.

Björn
Darkman89 Auf diesen Beitrag antworten »

ich kapiere das net unglücklich also ich habe ja den wendepunkt nun gerechnet...ich soll beweisten dass ALLE funktionen fk dieselbe Wendestelle haben unglücklich warum alle da ist doch nur eine...
3. ableitung:
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, das ist dein Problem.

Weil in der Funktion neben dem x noch der Parameter k vorkommt spricht man von einer Funktionenschar. Das sind unendlich viele Funktionen, denn für das Einsetzen irgendeiner Zahl für k entsteht eine neue Funktion mit einem bestimmten Graphen.

Dadurch dass an der Stelle x=1 für jeden dieser unendlich vielen Graphen immer ein Wendepunkt vorliegen muss, unabhängig was für eine Zahl man für k einsetzt (denn das k fällt eben durch zweimaliges Ableiten weg), ist die Aufgabe damit gelöst.
Darkman89 Auf diesen Beitrag antworten »

achsooo
jetzt habe ich endlich kapiert warum "Funktionen" DANKE!!
dann macht das k problem bei extremstelle:

mache ich da erstma pq formel?
also erstma geteil durch 3 dann die pq formel oder?

THX
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau Freude
Darkman89 Auf diesen Beitrag antworten »

ok dann kommt da:

wie beweise ich denn jetzt wirklich....muss ich da sagen dass wenn k=2,25 ist dann gibts eine lösung wenn es größer 2,25 ist dann gibts 2 lösungen wenn kleiner 2,25 dann gibts keine lösung?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Lösung stimmt nicht und formal ergibt so eine Gleichung auch keinen Sinn.



Das ist der Ansatz und jetzt musst du eben z.B. durch die pq Formel nach x auflösen.
Darkman89 Auf diesen Beitrag antworten »

hoppla du hast recht:
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Freude

Naja...bis auf die Form. Schreib das bitte so niemals in einer Klausur.
Darkman89 Auf diesen Beitrag antworten »

ehh wie soll es sonst sein die form?...ich muss die vllcht an tafel schreiben..
aber ist damit die aufgabe beendet oder wie?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:


Wie du das schreibst bedeutet das ja soviel wie dass fk'(x) und 0 und 1 \pm \sqrt{1-\frac{k}{3}} alles das gleiche ist.

Was aber eigentlich gilt ist:



Und was du bisher gemacht hast war nur Vorarbeit, jetzt wird es erst interessant und muss nun Schlüsse für die Wahl von k ziehen, sprich eine Fallunterscheidung dafür machen, was passiert wenn der Term unter der Wurzel (Diskriminante), nennen wir ihn ma D, kleiner, größer oder gleich null wird.
Darkman89 Auf diesen Beitrag antworten »

hmm ja wenn unter der Wurzel 0 steht dann gibts eine Lösung wenn die zahl unter der Wurzel negativ wird dann gibts keine Lösung wenns positiv ist dann 2 lösungen...das weiss ich ja schon...wo ist das problem?

also:
k = 3 --> eine Lösung
k > 3 --> zwei Lösungen
k < 3 -->keine Lösung
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Na dass du das noch alles nach k auflösen musst und dann muss man auch nochmal den Test mit der zweiten Ableitung machen, also ob die auch wirklich ungleich null ist oder nicht.

Edit:

Deine Lösungen stimmen nicht ganz, also das kleiner größer Zeichen ist falsch zugeordnet.
Darkman89 Auf diesen Beitrag antworten »

oh stimmt du hast recht:
k = 3 --> eine Lösung
k < 3 --> zwei Lösungen
k > 3 -->keine Lösung

hmm nach k lösen...was soll ich denn nach k lösen unglücklich
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, jetzt stimmts...das heisst doch nach k auflösen.

Zitat:


Jetzt solltest du mal k=3 hier einsetzen.

Was entsteht denn dann für eine Lösung für x ?

Und was liegt an dieser Stelle dann vor ? Ein Hochpunkt, Tiefpunkt oder ganz was anderes Augenzwinkern ?

Es geht ja um die Anzahl und die Lage der Extremstellen, deshalb sollte in deinem Antwortsatz nachher sowas stehen wie:

Für k<3 existieren 2 Extremstellen, für k>0...

Bedenke noch dass die 2. Ableitung dir auch Auskunft darüber gibt, was für ein Extrempunkt vorliegt.

Ich bin jetzt erstmal unterwegs, schaue aber nachher nochmal rein Wink
Darkman89 Auf diesen Beitrag antworten »

für k>= 3 existieren keine Extremstellen:


für k<3 existiert ein Tiefpunkt:


also das reicht jetzt ne?? xD
THX
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Den Fall k=3 kann man schon genauer beschreiben:

Für k=3 existiert an der Stelle x=1 dann ein Sattelpunkt S(1/1)
Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente, deshalb sind an der Sattelstelle x=1 auch die 1. und 2. Ableitung gleich null.

Auch der Fall k<3 gibt noch mehr her bezüglich der Lage der Extremstellen, die Existenz, nämlich der Beweis, dass es in diesem Fall 2 Extrempunkte gibt hast du ja schon.

Es gibt nämlich wegen einen Extrempunkt links von x=1 und einen rechts von x=1. Wenn man also eine Zahl x<1 in die 2. Abletung einsetzt, wird diese ... und deshalb ist links von x=1 immer ein ... und analog kann das noch für den Extrempunkt rechts von 1 machen.

Damit wär aber dann auch alles erledigt smile

Gruß Björn
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