Abstand eines Punktes zur Hyperebene

19.01.2005, 10:06

schmendrig

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Abstand eines Punktes zur Hyperebene

Hallo Leute,

ich soll eine allgemeine Form bestimmen wie man den Abstand eines Punktes p von eine Hyperebene bestimmt. Dazu ist die Bedingung dass f(x) = $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~(x_{i}-p_{i})^{2} \end{eqnarray*}$ minimal sein muss. Und Nebenbedingung g(x)= $\begin{eqnarray*} (\sum_{i=1}^n~a_{i}*x_{i}) -c=0 \end{eqnarray*}$ .

Als Hilfe kenne ich: grad f(x) - $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ *grad g=0.

Ich hab den grad g(x) und grad f(x) bestimmt, kann damit auch eine Gleichung für Lambda aufstellen. Dann sehe ich die Vektoren als LGS mit n Gleichungen. Da alle gleich lambda sind, kann ich die gleichsetzen, weiß nur noch nicht was ich damit dann anfange.

19.01.2005, 14:18

Tobias

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Ich glaub das muss nochmal gescheit aufgeschrieben werden.

In latex macht man Indizes mit "_{i}" und Potenzen mit "^{i}".

Ausserdem ist die Nebenbedingung g(x) keine Bedingung sondern nur ein Term.

Es fehlen noch Erklärungen zu p, x, a, lambda, ...

Ausserdem ist es nier verkehrt die Stelle anzugeben, wo man hängt.

MfG

19.01.2005, 17:21

riwe

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RE: Abstand eines Punktes zur Hyperebene
habe keine ahnung,
aber üblicherweise bestimmt man den abstand eines punktes von einer (hyper?)ebene mit der hesseschen normalform
etwas in der art würde ich mir überlegen
(ist deine "nebenbedingung" nicht die ebene g(x)=0)?
werner

19.01.2005, 19:54

schmendrig

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RE: Abstand eines Punktes zur Hyperebene
Wie bestimmt man die Hessesche Normalform aus den obigen Angaben?

21.01.2005, 02:05

riwe

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RE: Abstand eines Punktes zur Hyperebene
normieren:
$\begin{eqnarray*} a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3 + ... +a_0=0 \Rightarrow \frac{a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3 +...+a_0}{\sqrt{a_1^{2}+.....}} \end{eqnarray*}$
der rest gehört dir
ich bin nur ein malender
werner

21.01.2005, 10:01

schmendrig

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Aha, kann ich das auch bei n-dimensionalen Vektoren? Fein.

Was ist der Wert $\begin{eqnarray*} a_{0} \end{eqnarray*}$
und es gilt g(x)= $\begin{eqnarray*} (\sum_{i=1}^n~a_{i}*x_{i}) -c=0 \end{eqnarray*}$

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21.01.2005, 15:14

riwe

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a0 <=> c
werner

24.01.2005, 16:59

schmendrig

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Wenn ich die Hesse´sche Normalform habe, dann muss ich nur noch die Werte des Punktes einsetzen und bekomme als Ergebnis den Abstand, oder wie?
Hab mit der Hesse´schen Normalform keine Erfahrung

24.01.2005, 17:16

yeti777

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RE: Abstand eines Punktes zur Hyperebene
Hallo schmendrig,

ich würde mit deinem ersten Ansatz, mit dem LAGRANGE-Multiplikator, arbeiten. Die Gradientengleichung ergibt dir n skalare Gleichungen, plus die Nebenbedingung macht (n+1). Du hast also (n+1) Gleichungen für die Koordinaten $\begin{eqnarray*} x_1,x_2,...x_n \end{eqnarray*}$ und den LAGRANGE-Multiplikator $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ . Dieses GLS hat eine eindeutige Lösung, wenn die Voraussetzungen des Satzes von LAGRANGE erfüllt sind.

Gruss yeti

Edit: Es ist mir erst jetzt aufgefallen, dass du eine "allgemeine Form" aufstellen sollst. Ich habe das, sich mit dem Satz von LAGRANGE ergebende, LGS mal aufgestellt, sehe dann aber nicht, wie man das ohne weitere Annahmen noch weiter vereinfachen könnte. Könnte es sein, dass mit der "allgemeinen Form" einfach dieses LGS gemeint ist? Oder stehe ich "auf dem Schlauch" verwirrt

verwirrt

Gruss yeti

24.01.2005, 23:12

riwe

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Zitat:

Original von schmendrig
Wenn ich die Hesse´sche Normalform habe, dann muss ich nur noch die Werte des Punktes einsetzen und bekomme als Ergebnis den Abstand, oder wie?
Hab mit der Hesse´schen Normalform keine Erfahrung

so ist es
werner

25.01.2005, 08:02

schmendrig

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@yeti777 das ist eine gute Frage. Die Gleichungen und alles hatte ich auch schon aufgestellt, kam aber nicht weiter. HDer Prof meinte, man braucht garnet zu differenzieren, man könnte die lösung auch durch geometrische überlegungen bekommen. da kam ich aber auch nicht weiter. deshalb bin ich hier ins forum.

25.01.2005, 10:43

yeti777

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Hallo schmendrig,

ja, dein Prof hat recht. In der Zwischenzeit habe ich mir die Aufgabe noch einmal überlegt und habe sie von der geometrischen Seite angegangen. Das ist einfacher. Aber ich brauche etwas Zeit, um das Zeug in LaTeX aufzuschreiben und ein konkretes Beispiel zu rechnen. Melde mich wieder!

Gruss yeti

25.01.2005, 13:37

yeti777

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Hallo schmendrig,

Gesucht: Abstand eines gegebenen Punktes $\begin{eqnarray*} \vec{p} \end{eqnarray*}$ im $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$ zu einer gegebenen Hyperebene im $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$ .

Lösungsweg 1: Man formuliert das Problem um und sucht ein Extremum (Minimum) im $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$ , nämlich den Abstand zwischen dem Punkt $\begin{eqnarray*} \vec{x} \in \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$ und dem Punkt $\begin{eqnarray*} \vec{p} \in \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$ , wobei aber nur die Punkte der Hyperebene zur Konkurrenz zugelassen sind. Das ist der klassische Fall eines Extremums mit Nebenbedingung(en)(hier nur eine). -> Satz von LAGRANGE, LANGRANGE-Multiplikatoren.

Diesen Lösungsweg hast du in deinem Post angedeutet und ich habe ihn unterstützt.

Viel einfacher geht es aber, wenn man das Problem geometrisch angeht.

Lösungsweg 2: Sei $\begin{eqnarray*} \vec{x_0} \in \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$ ein fester Punkt der Hyperebene und $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ der auf die Länge 1 normierte Normalenvektor der Hyperebene. Dann lautet die Gleichung der Hyperebene $\begin{eqnarray*} \vec{n}\cdot (\vec{x} - \vec{x_0}) = 0 \end{eqnarray*}$ (Skalarprodukt). $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \vec{n} \cdot \vec{x} = \vec{n} \cdot \vec{x_0} = c \end{eqnarray*}$ . Mit deiner Notation gilt: $\begin{eqnarray*} \vec{n} = \vec{a} \end{eqnarray*}$ . (Die Bezeichnung $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ für den normierten Normalenvektor passt mir besser in den Kram). $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ist gerade der Abstand der Hyperebene zum Koordinatenursprung. Jetzt projizieren wir den Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{p} \end{eqnarray*}$ auf den Normalenvektor der Hyperebene. Das geht mit dem Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} d = \vec{n} \cdot \vec{p} \end{eqnarray*}$ . Die Differenz $\begin{eqnarray*} \mid d- c \mid \end{eqnarray*}$ ist jetzt der gesuchte Abstand zwischen dem Punkt $\begin{eqnarray*} \vec{p} \end{eqnarray*}$ und der Hyperebene!

Für $\begin{eqnarray*} d<c \end{eqnarray*}$ liegt $\begin{eqnarray*} \vec{p} \end{eqnarray*}$ auf der gleichen Seite der Ebene, wie der Koordinatenursprung.

Für $\begin{eqnarray*} d=c \end{eqnarray*}$ liegt $\begin{eqnarray*} \vec{p} \end{eqnarray*}$ in der Ebene.

Für $\begin{eqnarray*} d>c \end{eqnarray*}$ liegt $\begin{eqnarray*} \vec{p} \end{eqnarray*}$ auf der anderen Seite der Ebene, wie der Koordinatenursprung.

Ich habe ein konkretes Beispiel im $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^4 \end{eqnarray*}$ durchgerechnet mit folgenden Ausgangswerten:
$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} , \vec{x_0} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} , \vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} , \vec{p} = \begin{pmatrix} 8 \\ 7 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Als Resultat erhielt ich $\begin{eqnarray*} c= 4\cdot \frac{ \sqrt{7} }{7} \approx 1.512 \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} \mid d- c \mid = 19\cdot \frac{ \sqrt{7} }{7} \approx 7.181 \end{eqnarray*}$ . Natürlich ergaben beide Methoden exakt dieselben Resultate (hoffentlich auch!!!) smile

smile

Gruss yeti

PS. Falls du noch Fragen hast, nur zu.

PPS. Die Lösung von Werner konnte ich nicht nachvollziehen. Weiss nicht, wo’s klemmt verwirrt

verwirrt

.

25.01.2005, 21:53

Poff

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Das ist das was Werner auch beschrieben hat.

sqrt(a1^2 +a2^2+a3^2+a4^2) = sqrt(7)

d' =-(a1*8+a2*7+a3*6+a4*5 -4)/sqrt(7) =-19/sqrt(7) =-19/7*sqrt(7)

c =-(a1*0+a2*0+a3*0+a4*0 -4)/sqrt(7) = 4/sqrt(7)

P und 0 liegen demnach auf verschiedenen Seiten der Ebene
.

26.01.2005, 15:47

schmendrig

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Danke, jetzt sehe ich etwas klarer.

26.01.2005, 19:10

yeti777

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@Poff

Zitat:

Original von Poff
Das ist das was Werner auch beschrieben hat.

d' =-(a1*8+a2*7+a3*6+a4*5 -4)/sqrt(7) =-19/sqrt(7) =-19/7*sqrt(7)

c =-(a1*0+a2*0+a3*0+a4*0 -4)/sqrt(7) = 4/sqrt(7)

P und 0 liegen demnach auf verschiedenen Seiten der Ebene
.

Hallo Poff,

das, was Werner geschrieben hat, habe ich mttlerweile auch begriffen. Aber jetzt habe ich Verständnisfragen zu deinem Post:

1) Zu d': Warum das Minuszeichen?

2) Zu c: Warum die Nullen in der Klammer? Um c, dh. den Abstand der Hyperebene zum Koordinatenursprung zu berechnen, musst du doch irgendwie den Fusspunkt der Ebene (x0) und den Normalenvektor (n) ins Spiel bringen? Woher kommt die -4?

Sorry, dass ich dich nochmals belästige, aber ich möchte es wirklich vollständig begriffen haben.

Gruss yeti

27.01.2005, 01:48

Poff

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Hallo yeti777

zu d'
wie du gesehen hast entspricht das nicht deinem d sondern stellt
hier direkt den gerichteten Abstand des Punktes von der Ebene dar.

Das mit dem Minuszeichen ist Definitionssache. Je nachdem wie
man den Abstand des Ursprungs von der Ebene definiert fällt dann
der Wert für den Punkt so oder so aus. Liegt er auf der gleichen
Seite wie der Ursprung dann trägt er auch das gleiche Vorzeichen
wie der zum Ursprung. Ich hab hier entgegen der üblichen Definition
den Abstand zum Ursprung positiv angesetzt('üblicherweise' wird der
negativ angesetzt, aber weils letztlich egal ist ...)

woher kommen die Werte?
Nun, die kommen einfach aus der expliziten Darstellung der
zugehörigen Ebenengleichung E. (N*(X-X0))

E: 1*x1 + 2*x2 + 1*x3 - 1*x4 - 4 =0

HNF E: 1/sqrt(1^2+2^2+1^2+(-1)^2) * E

2) Zu c: Warum die Nullen in der Klammer? Um c, dh. den Abstand der Hyperebene zum Koordinatenursprung zu berechnen, musst du doch irgendwie den Fusspunkt der Ebene (x0) und den Normalenvektor (n) ins Spiel bringen? Woher kommt die -4?

'nein', dazu brauch ich nur noch den Ursprung(0,0,0,0) (ist ja auch
nur ein Punkt) in die HNF einsetzen, bzw es lässt sich direkt ablesen
am absoluten Glied.

im 'Prinzip' ist das beides das Gleiche, nur eben leicht unter-
schiedlich aufgeschrieben.

Deine vektorielle Gleichung N*(X-X0) =N*X - N*X0 =0 mit
normiertem N ist nichts anderes als die vektorielle Form der HNF
der Ebene.

Damit ist N*0 -N*X0 =-c der Abstand vom Ursprung und
N*P -N*X0 =-d' der Abstand von P zur Ebene, also keine
zusätzlichen Geheimnisse. (das Minuszeichen bei c und d' nur
wegen der Analogie zu meiner Post)
.

28.01.2005, 12:33

yeti777

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@ Poff:

Vielen Dank, Poff, für deine Hilfe. Jetzt habe ich es kapiert. Man lernt doch gerne immer wieder etwas dazu.

Gruss yeti

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