Lineares Gleichungssystem mit Koeffizienten

19.01.2005, 13:37

Moeki

Lineares Gleichungssystem mit Koeffizienten

Diese Woche haben wir in der Vorlesung Mathematik für Informatiker 1 unter anderem Lineare Gleichungsssteme behandelt, welche auch in der am Wochenende anstehenden klausur drankommen.

Glücklicherweise erinnere ich mich daran, dass wir einfache Gleichungssysteme mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus im LK Mathe gelöst haben.

Zum Beispiel.

A) $\begin{eqnarray*} x_1 + 2x_3 = 1 \end{eqnarray*}$
B) $\begin{eqnarray*} 3x_1 + 2x_2 + x_3 = 0 \end{eqnarray*}$
C) $\begin{eqnarray*} 4x_1 + x_2 + x_3 = 0 \end{eqnarray*}$
___________

D) = A + B - C

$\begin{eqnarray*} 0x_1 + x_2 + 0x_3 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2 = 1 \end{eqnarray*}$

E) = 3 * B - C

$\begin{eqnarray*} 5x_1 + 5 + 0x_3 = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 = -1 \end{eqnarray*}$

Eingesetzung in A $\begin{eqnarray*} x_3 = 1 \end{eqnarray*}$

Oder:

A) $\begin{eqnarray*} x_1 + 2x_2 3x_3 = 1 \end{eqnarray*}$
B) $\begin{eqnarray*} 4x_1 + 5x_2 + 6x_3 = 2 \end{eqnarray*}$
C) $\begin{eqnarray*} 7x_1 + 8x_2 + 9x_3 = 3 \end{eqnarray*}$
D) $\begin{eqnarray*} 5x_1 + 7x_2 + 9x_3 = 4 \end{eqnarray*}$

2*A - B = $\begin{eqnarray*} -2x_1 - x_2 = 0 \end{eqnarray*}$ d.h. $\begin{eqnarray*} x_2 = -2x_1 \end{eqnarray*}$
C-D = $\begin{eqnarray*} 2x_1 + x_2= -1 \end{eqnarray*}$ da aber 0 ungleich 1 ist, ist diese Gleichung nicht lösbar, oder?

Wie verhält es sich aber mit folgender Aufgabe?

Zitat:

Man löse das folgende Gleichungssystem in Abhängigkeit von a $\begin{eqnarray*} \in R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 + x_2 + ax_3 = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1 + ax_2 + x_3 = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ax_1 + x_2 + x_3 = 1 \end{eqnarray*}$

Wie muss ich hier ansetzen, um das Gleichungssystem in Abhängigkeit vom Koeffizienten a zu lösen?

Danke, Moeki. Hammer

19.01.2005, 13:52

Tobias

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Zuerst einmal überfürhen wir das LGS in die erweiterte Matrixschreibweise:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & a & 1 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ a & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt bringen wir die Matrix durch elementare Zeilenoperationen auf Stufenform:

2. Zeile = 2. Zeile - 1. Zeile
3. Zeile = a*1. Zeile - 3. zeile

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & a & 1 \\ 0 & a-1 & 1-a & 0 \\ 0 & a-1 & a^2-1 & a-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So haben wir in der ersten Spalte unter dem Diagonalelement nur 0en erzeugt. Dasselbe machen wir jetzt eine Stufe tiefer mit der 2. Spalte:

3. Zeile = 2.Zeile - 3. Zeile

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & a & 1 \\ 0 & a-1 & 1-a & 0 \\ 0 & 0 & -a^2 - a + 2 & 1-a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Durch Rückwärtseinsetzen ergibt sich dann die Lösung. ... falls ich keine Fehler drin habe. Hammer

19.01.2005, 17:26

BraiNFrosT

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Und die Fallunterscheidungen a = 1 ; a = -2 und a=alles andere
nicht vergessen.

20.01.2005, 11:36

Moeki

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RE: Lineares Gleichungssystem mit Koeffizienten

Zitat:

Ist das folgende lineare Gleichungssystem lösbar? Ermitteln Sie gegebenenfalls die Lösungsmenge.

A) $\begin{eqnarray*} x_1 + 2x_2 3x_3 = 1 \end{eqnarray*}$
B) $\begin{eqnarray*} 4x_1 + 5x_2 + 6x_3 = 2 \end{eqnarray*}$
C) $\begin{eqnarray*} 7x_1 + 8x_2 + 9x_3 = 3 \end{eqnarray*}$
D) $\begin{eqnarray*} 5x_1 + 7x_2 + 9x_3 = 4 \end{eqnarray*}$

Hier hat sich meiner Meinung nach, ich habs nochmal getestet, wohl ein Fehler eingeschlichen, denn dieses inhomogene Gleichungssystem ist mehrdeutig lösbar.

$\begin{eqnarray*} x_1 = t - 1/3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2 = -2t + 2/3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3 = t \end{eqnarray*}$

Wink

20.01.2005, 11:58

Moeki

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Zitat:

Original von BraiNFrosT
Und die Fallunterscheidungen a = 1 ; a = -2 und a=alles andere
nicht vergessen.

Die Fallunterscheidung für a = -2 ist ja einfach. Denn die Lösungsmenge hierfür ist die Leere Menge (irgendwo bricht es nämlich ab mit 0 = -1)

Die Fallunterscheidung für a = 1 gelingt mir aber nicht, weil ich durch Einsetzen im Endeffekt nur auf die Gleichung $\begin{eqnarray*} x_1 + x_2 + x_3 = 1 \end{eqnarray*}$ komme. Alles andere ist 0. Wie komme ich hier weiter?

20.01.2005, 14:21

Moeki

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Hab es jetzt gefunden.

$\begin{eqnarray*} x_2 = s \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3 = t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1 = 1 - s - t \end{eqnarray*}$

und dafür dann halt die Lösungsmenge.

für a ungleich 1 oder -2 ist die lösung übrigens $\begin{eqnarray*} x_1 = x_2 = x_3 = 1/(a+2) \end{eqnarray*}$

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