2D -> 3D R,T Matrix gesucht

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Jens123 Auf diesen Beitrag antworten »
2D -> 3D R,T Matrix gesucht
Hallo,
ich steh kurz vor der Mathe Prüfung und bekomme leider ein Problem nicht mehr aus dem Kopf was absolut überhaupt nicht relevant ist für die Prüfung Forum Kloppe

Ich weiß das das Problem eigentlich in den Bereich Hochschulmathematik gehört aber ich stell die Frage dennoch hier (erhoffe mir mal das hier die Antworten oder Ideen leichter Verständlich sind).

Zur Thematik es geht um folgendes:

Eine Fläche in einem 3 Dimensionalen Raum (beliebige Rotation und Translation) wird in ein 2D Bild umgerechnet. Dieses 2D Bild soll nun wieder zurückgerechnet werden in 3D. Dabei geht es darum die entsprechende Rotations und Translations Matrix zu finden.

Also im Klartext mit einer Kamera wird ein Bild eines Quadrats aufgenommen ... die Eckpunkte des Quadrats werden gesucht gefunden und gespeichert .

Also gegeben 4 Punkte (x,y) und die Gewissheit das die Seitenlängen des Quadrats alle gleich groß sind.


Gesucht: wie liegt dieses Fläche im Raum. Ist sowas überhaupt mit "normaler" Schulmathematik zu lösen? Vll. habe ich auch noch eine Bedingung die mir gegeben ist übersehen?

Viele Grüße
Jens Wink


PS: Wenn es unbedingt in den Bereich Hochschulmathematik gehört dann bitte verschieben. Danke!
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Das zweidimensionale Bild des Quadrates entsteht infolge der Zentralprojektion auf eine Bildebene (Bildebene der Kamera), und ist im Allgemeinen wieder ein Viereck. Es kann allerdings im Sonderfall auch zu einer Strecke entarten (wenn das Auge der Kamera in der Ebene des Quadrates liegt). Um die originale Lage des Objektes aus dem Bild wiederherzustellen, bedarf es der Festlegung zumindest eines Punktes des Quadrates. Konstruktiv wird dies in der Darstellenden Geometrie mittels der perspektiven Kollineation durchgeführt (Pyramidenschnitt mit einer Ebene). Für die perspektive Kollineation gibt es rechnerisch (mathematisch) auch die entsprechenden Abbildungs- (Transformations-) gleichungen.

mY+
 
 
Jens123 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
erstmal danke für die Antwort das bringt mich der Sache schon ein ganzes Stück näher!
Nach meinen Überlegungen müßte ich:

1. den Mittelpunkt der 4 gegebenen Punkte berechnen -> r
2. die 4Seitige Pyramide mit der Spitze zur Bildebene und dem Mittelpunkt r erstellen
3. die Pyramide so lange in die Bildebene "hineinstechen" bis 3 Punkte (der vorgegeben) im inneren der Fläche liegen und der 4te genau auf einer Schnittkanten
4. die Pyramide so lange um den punkt Mittelpunkt r Rotieren bis alle 4 Punkte genau auf einer Seite der Pyramide liegen

Diese Rotation wäre dann meine Rotationsmatrix. Irgendwie bin ich mir bei den Punkten 1-3 noch komplett unsicher,
habe schon Pyramiden gebastelt und mir versucht den Sachverhalt Räumlich vorstellen zu können aber irgendwie bringt mich
das noch nicht weiter. Stimmen meine Ansätze so weit? Das Problem ist das ich die ganzen Schritte wenn diese stimmen würden
(was ich nicht glaube) noch in einem Algorithmus verpacken muß und diesen dann Programmieren.

Oder sollte ich mich wirklich näher mit der perspektive Kollineation auseinandersetzen? Dazu findet man leider nicht sehr viel
und das was ich bis jetzt gefunden habe war entweder so komplex das ich mich nicht rangetraut habe oder ich konnte keinen
Zusammenhang zu meiner Problematik finden.

Grüße
Jens
Jens123 Auf diesen Beitrag antworten »

Habe gerade mit festgestellt das das Thema Zentralprojektion zum Thema "perspektive Kollineation" dazu gehört Forum Kloppe
Werd ich mir später dann nochmal genau anschauen.
Und meine Frage neu stellen smile

so jetzt erstmal ne Prüfung schreiben Wink
Grüße
Jens
Jens123 Auf diesen Beitrag antworten »

So, Prüfung überstanden jetzt gehts weiter:

Ich habe mir die Kollinearitätsgleichung angeschaut diese besagt ja das x' und y' sich so berechnen lassen:



und




wobei c der Brennweite entspricht (diese läßt sich rausbekommen)
x' und y' habe ich auch gegeben ...
X0,Y0,Z0 ist ein Vektor der auf das Projektionszentrum zeigt hier denke ich mal das ich für x,y den Mittelpunkt des Quadrats verwenden muß aber der Z wert ist mir nicht einleuchtend da dieser ja theo im "Raum" hinter der Kamera liegen muß und die Bildebene davor? (bei einer Kamera ist es ja eigentlich genau andersherum aber da ich "glaube" von einer Zentralprojektion ausgehen zu müssen wird es so eher richtig sein)

X,Y,Z + die 3x3 Matrix wöllte ich herausfinden.
Eine Gleichung mit 12 Unbekannten ... LOL Hammer

Habe ich noch andere Bedingungen gegeben? Die ich vll. Übersehen habe um ein Gleichungssystem aufzustellen?
So richtig steige ich noch nicht hinter den ganzen Sachverhalt. So ist es für mich noch nicht Lösbar traurig


Grüße
Jens
Jens123 Auf diesen Beitrag antworten »

http://www.stylistics.org/hilfe.jpg

Mein jetziger Lösungsansatz:


  1. Mittelpunkt des beliebigen 4 Ecks A' bilden
  2. Projektionszentrum S Berechnen (x,y = Mittelpunkt des 4Ecks A' (beliebiges z wählen wichtig nur das Positiv und nicht 0) EDIT: der z wert des Projektionszentrums müßte der Kamera Brennweite entsprechen
  3. Längste Seite des 4 Ecks suchen; Längste Seite = a;
  4. Nun Geraden Gleichungen Bilden:
    - g1: von S zu P1
    - g2: von S zu P2
    - g3: von S zu P3
    - g4: von S zu P4

  5. Einen Punkt auswählen und als z=0 ansehen z.B. P1
  6. Um Punkt 2 zu berechnen sind folgende Bedingungen gegeben: Abstand P1->P2 muß a entsprechen und auf der Gerade g2 liegen
  7. Um Punkt 3 zu berechnen: Abstand P2->P3 muß a entsprechen und auf der Gerade g3 liegen
  8. Um Punkt 4 zu berechnen: Abstand P2->P3 muß a entsprechen und auf der Gerade g4 liegen



Nun sind alle 4 Punkte gegeben, meine Probleme:
- die Berechnungen mit den Abständen sind Fehlerbehaftet da 2 Punktke auf der Geraden den Abstand a haben!

- nach meiner Konstruktion (unter der Bedingung das immer der richtige Punkt auf der Geraden genommen wird) liegen die Punkte trotzdem am Ende nicht ordentlich in einer Ebene. Bin mir nicht sicher ob es ein Konstruktionsfehler ist oder es einfach wirklich so nicht funktioniert. In der Skizze das Blaue "Quadrat".


Um mal Fragen zu Stellen:
Gibt es eine Möglichkeit das Problem mit den 2Punkten auf der Gerade zu lösen?
Traut es sich jemand zu zu sagen JA so könnte das Funktionieren? ;-)
Kann mir jemand nochmal einen anderen Tip geben oder zu meiner vorherigen Frage etwas schreiben smile

JaJa ich lass nicht locker Big Laugh

Grüße
Jens
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