Unterräume & Eigenraum

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19.01.2005, 15:41	freeangle	Auf diesen Beitrag antworten »
Unterräume & Eigenraum Also ich komme bei dieser Aufgabe absolut nicht weiter, weil ich sie auch gar nicht verstehe... Ich habe gegeben eine Matrix A= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ in \mathbb Q^{3} und $\begin{eqnarray} f_A \end{eqnarray}$ die entsprechende induzierte Abbilung $\begin{eqnarray} \mathbb Q^{3}---->\mathbb Q^{3} \end{eqnarray}$ . So nun die Aufgabe: Geben Sie einen echten Unterraum von $\begin{eqnarray} U\leq \mathbb Q^{3} \end{eqnarray}$ an, der kein Eigenraum von $\begin{eqnarray} f_A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f_A \end{eqnarray}$ -invariant ist. Ich hab da absolut keinen Schimmer... Also die Eigenräume von A hab ich aber ich versteh überhaupt nicht die Aufgabe und habe somit auch absolut keinen Ansatz...
19.01.2005, 16:51	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
weißt du, was es heißt, wenn ein Unterrraum bezüglich einer abbildung invariant ist? mfg jochen
19.01.2005, 17:06	freeangle	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein das ist es ja... aber laut Vorlesung heißt es, dass $\begin{eqnarray} U\neq \{0\}< \mathbb Q^{3} \end{eqnarray}$ (in diesem Fall) und $\begin{eqnarray} f_A(U) \leq U \end{eqnarray}$ Aber was das so wirklich bedeutet weiß ich nicht
19.01.2005, 17:10	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
U ist als Unterrraum f-invariant, wenn es durch f nicht aus U heraus abgebildet wird.... das heißt im klartext: das bild von U unter f ist eine teilmenge von U. also f(U) c U. so ein U sollst du finden.
19.01.2005, 17:13	freeangle	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wie finde ich sowas?
19.01.2005, 17:15	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
gute frage, was hast du denn für eigenwerte raus? und was sind die zugehörigen eigenräume?
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19.01.2005, 17:19	freeangle	Auf diesen Beitrag antworten »
Also als Eigenwerte habe ich 2, -2 und 3 raus und die dazugehörigen Eigenräume sind $\begin{eqnarray} Eig(A,2)=<\begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Eig(A,-2)=<\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Eig(A,3)=<\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}> \end{eqnarray}$
19.01.2005, 17:21	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
dann versuchs mal mit dem Nullraum als Unterraum von Q³. das macht die sache eigentlich zu einfach, aber A*0=0, und somit ist {0} f-invariant....
19.01.2005, 17:22	freeangle	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja aber U soll nicht {0} sein... das haben wir jedenfalls so definiert bekommen
19.01.2005, 17:27	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
ohje, {0} darfs auch nicht sein.... wahrscheinlich weil {0} gegenüber jeder abbildung invariant ist..... hmm, dann bin ich jetzt auch überfragt, wie man sowas findet... ich denk noch mal drüber nach, aber vielleicht hat ja jemand anderes einen heißen tipp für dich. mfg jochen
19.01.2005, 21:46	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube, wir haben die leere Menge damals aus der Definition "echter Teilraum" rausgenommen. Hast du schonmal eine Kombination aus zwei Eigenräumen versucht? Z.B. $\begin{eqnarray} \big< \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \big> \end{eqnarray}$ Keine Ahnung ob das geht, ich habs mir so gedacht: Sie $\begin{eqnarray} \varphi_Q \end{eqnarray}$ die durch Q induzierte lin. Abbildung. Sei der erste Eigenvektor $\begin{eqnarray} v_1 \end{eqnarray}$ und der zweite $\begin{eqnarray} v_2 \end{eqnarray}$ . Dann lässt sich jedes Element des o.g. Unterraums durch $\begin{eqnarray} \lambda_1 \cdot v_1 + \lambda_2 \cdot v_2 \end{eqnarray}$ darstellen. $\begin{eqnarray} \varphi_Q(\lambda_1 \cdot v_1 + \lambda_2 \cdot v_2) = \lambda_1 \varphi_Q(v_1) + \lambda_2 \varphi_Q(v_2) \end{eqnarray}$ Da v_1 und v_2 Eigenvektoren sind, führt diese Operation nie aus dem Unterraum hinaus.

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