Vervollständigung eins metrischen Raumes |
| 13.06.2007, 03:46 | jayjay84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Vervollständigung eins metrischen Raumes
hab hier eine FALSCHE aussage, weiß aber nicht genau warum sie nicht stimmt: "Die Vervollstädigung eines metrischen Raumes existiert nur dann, wenn alle Cauchyfolgen konvergieren" also es ist ja so, dass in jedem vollständigen Raum die CF konvergieren; also gibt es auch keine Räume in denen die CFs nicht konvergieren oder? vllt habe ich auch ein Problem mit vollständiger Raum und Vervollständigung... vllt kann mir jemand helfne danke |
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| 13.06.2007, 08:17 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
| RE: Vervollständigung eins metrischen Raumes Die Frage ist ja, in welcher Topologie die Cauchyfolgen konvergieren. In der des ursprünglichen metrischen Raumes, oder in der des Vervollständigten? |
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| 13.06.2007, 17:51 | jayjay84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
hmm =) kannst du das vllt noch irgendwie anderes erklären? =) komme mit dem hinweis nicht weiter.. weil im vollständigen Raum konvergieren die CF ja immer... wenn dann dort steht: "Die Vervollstädigung eines metrischen Raumes existiert nur dann, wenn alle Cauchyfolgen konvergieren" klingt das richtig für mich.. weil es gibt ja keine vollständigen räume vo die CF nicht konvergieren.. hmm irgendwas versteh ich nicht richtig 
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| 21.07.2007, 18:38 | Canrtor87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Ich würde sagen die Beh. ist im folgenden Sinn falsch : Die Konvergenz aller C.-F. ist keine notwendige Bed. fuer die Existenz der Vervollständigung, diese existiert immer und ist bis auf Isometrie eindeutig. Was man aber sagen kann ist : wenn in deinem (ursprünglichen) Raum schon alle C.-F konvergieren, dann ist die Vervoll. des Raumes gleich der Raum selbst. Sorry fuer die Sprachenfehler, Deutsch ist nicht meine M.sprache |
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| 21.07.2007, 19:02 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Dass die Vervollständigung immer existiert, stimmt. Aber was ist für dich denn eine Isometrie in diesem Zusammenhang? |
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| 23.07.2007, 13:57 | Canrtor87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Also was meine ich mit dieser Isometrie: Man kann zeigen ,dass irgendeine Vevollständigung eines bestimmten Raumes X immer in Bijektion mit der Menge M der Aquivalenzklassen von C.-F. in X steht.Wobei die Aquivalenzklasse so definiert ist : (xn)~(yn) <-> lim d(xn,yn) = 0 (n->inf) , d die Metrik auf X.Offensichtlich ist M eindeutig bestimmt fuer X. So sind die Verv.en isomorph. |
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| 23.07.2007, 21:01 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Du hast meine Frage damit nicht beantwortet. Ich frage nochmal: Was ist deine Isometrie? |
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| 25.07.2007, 21:23 | Canrtor87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Ahah , leider ist ein Forum nicht so geeignet zum Angeben dieser Isometrie in Details, daher verweise ich auf die Litteratur. Siehe Kapitel 4 vom Buch Topologie von Jänich. Hoffe du findest dort die Antwort zu deiner Frage. 
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| 25.07.2007, 22:34 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Na, aber du wirst mir doch sagen können, was eine Isometrie zwischen metrischen Räumen ist, oder? Ist es einfach eine Abbildung F mit ? |
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| 25.07.2007, 23:05 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Findest auch du dort eine Antwort auf diese Frage? 
Sag doch einfach, dass du nur die Floskel "bis auf Isometrie ... " verwendet hast, ohne großartig drüber nach zu denken. Hättest du Webfritzi schon vorher gekannt, hätte dir klar sein müssen, dass der in diese Kerbe schlägt. |
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| 26.07.2007, 08:57 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Ich wollte es zumindest testen. Der Test ist aber noch nicht abgeschlossen.
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| 28.07.2007, 00:01 | Canrtor87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Leute, ich dachte Mathematikern gehörten zu den letzen Leute , von denen man noch erwarten konnte, dass sie keine billige Shlüsse ziehen.Wenn ich euch verstehe, habe ich keine Ahnung davon was diese Isometrie ist ? 
Ich habe doch gesagt ein Forum ist nicht so geeignet um eine ausführliche erklärung zu geben. Ich habe bald eine Topologie Pruefung und ICH WEISS , was diese Isometrie ist. Leider fehlt mir im Moment die Zeit, sie anzugeben, habe das Gefühl, ich müsste dann die Verv. ganz formal definieren ( habt ihr wirklich verstanden was diese ist ? ) . Eigentlich verstehe ich euch nicht , uberlegt ihr euch das folgende nochmal ganz ruhig :Man kann zeigen ,dass irgendeine Vevollständigung eines bestimmten Raumes X immer in Bijektion mit der Menge M der Aquivalenzklassen von C.-F. in X steht.Wobei die Aquivalenzklasse so definiert ist : (xn)~(yn) <-> lim d(xn,yn) = 0 (n->inf) , d die Metrik auf X.Offensichtlich ist M eindeutig bestimmt fuer X. So sind die Verv.en isomorph. Oder ihr wollt dass ich es noch zeige ?
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| 28.07.2007, 00:06 | Canrtor87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Bitte , willst du mich beleidigen, was hat die Metrik mit der Isometrie zwischen Räume zu tun ( ya ich weiss , dass diese metrische Räume sind) ? |
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| 28.07.2007, 13:15 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
@WebFritzi: Ich wüßte allerdings auch gerne, worauf Du hinauswillst. Es trifft doch zu, daß zwischen zwei Vervollständigungen eines metrischen Raumes eine isometrische Bijektion existiert - d. h. isometrisch mit Rücksicht auf jeweiligen Metriken. Willst Du nur wissen, ob Canrtor87 die Definition einer Isometrie kennt??? |
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| 28.07.2007, 16:34 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Einmal redest du von Isometrien, ein anderes mal von Isomorphien. Irgendwie bekomme ich immer stärker das Gefühl, dass du tatsächlich keine Ahnung hast von dem, was du da faselst.
Und genau dieser Kommentar bestätigt mein Gefühl. Du kannst ja nicht einmal definieren, was eine Isometrie ist...
Naja, für mich gibt es eigentlich nur EINE Vervollständigung. Nämlich die per Cauchyfolgen, welche der gute Canrtor87 schon mehrmals genannt hat. Oder kennst du eine andere Definition?
Ja, das war eigentlich mein Hauptgrund hier einzuhaken. Ich kann es nicht leiden, wenn jemand mit mathematischen Floskeln um sich wirft, ohne zu wissen, was sie bedeuten. Wie man oben sieht, ist Canrtor87 genau eine solche Person. |
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| 28.07.2007, 17:22 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
@WebFritzi: Vielleicht übersehe ich etwas, aber mir scheint, Du gehst doch etwas hart ins Gericht mit Canrtor87.
Damit wir nicht aneinander vorbeischreiben:
Du nimmst es ja genau, deshalb will ich das auch einmal versuchen: Wenn Du nach einer "Definition" für die Vervollständigung eines metrischen Raumes (X, d) fragst, dann kenne ich in der Tat nur eine (übliche), und die ist abstrakte. Die kennst Du auch: (X', d') ist eine Vervollständigung von (X, d), wenn es eine dichte isometrische Einbettung von X in X' gibt. Z. B. die "Konstruktion" über Äquivalenzklassen von C.F., wie Canrtor87 sie (teilweise) angegeben hat, führt dann zu einer Vervollständigung. Nichtsdestotrotz kann man, wie Du weißt, (X, d) auch (formal) anders (konkret) vervollständigen. Daß dabei nichts Interessantes geschieht und jedenfalls nichts wesentlich anderes herauskommt, besagt gerade die von Canrtor87 angeführte "Floskel". Nur deshalb sprechen wir von einer (= einzigen) Vervollständigung. Wenn es für Dich von vornherein keine andere Vervollständigung gibt - bzw. Du die (nur) bis auf Isometrie gegebene Eindeutigkeit für nicht weiter erwähnenswert hälst - ist das für mich ok. Ich verstehe aber nicht, warum Du Canrtor87's Hinweis so abstrafst. 
Die von ihm verwendete "Floskel" war an der Stelle durchaus angebracht. Und daß er nicht verstanden haben soll, was damit gemeint ist - ich kann das aus seinen Postings (noch) nicht erkennen. Mit seinem letzten Beitrag wollte er vielleicht nur darauf hinweisen, daß ihm klar ist, daß in der Regel mindestens zwei Metriken zu betrachten sind (und nicht bloß, wie Du ihm als "Stöckchen" hinhälst, die Ausgangsmetrik d). Ich habe bislang keinen Grund zu bezweifeln, daß ihm klar ist, daß Metriken an sich eine Rolle bei der Konstruktion (der Definition, dem Nachweis ...) der Isometrie spielen.
Ich persönlich finde den Sprachgebrauch "isometrisch isomorph" auch unglücklich, weil ein metrischer Raum keine weitere Struktur haben muß. Allerdings hat die Sprechweise sich bekanntlich eingebürgert, weshalb ihn Canrtor87 wohl auch verwendet - und im Eifer des Gefechts womöglich "isometrisch" vergessen hat? Vielleicht schießt Du hier etwas zu schnell.
Wer will schon über jedes Stöckchen springen...
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| 28.07.2007, 22:36 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Mag sein, dass ich zu hart war...
Dann war er zweimal im Eifer des Gefechts. |
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| 29.07.2007, 11:35 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Allerdings auch kein Muttersprachler... Anyway.
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| 29.07.2007, 14:49 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Wie jetzt? Wer ist kein Muttersprachler und woraus entnimmst du das? |
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| 29.07.2007, 15:01 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Daraus:
Eigentlich ist es mir völlig gleich, ob Canrtor87 Muttersprachler ist oder nicht - ob er wirklich verstanden hat, was er schreibt, oder nur so tut. Ich bin weder Gedankenleser, noch Detektiv. Die mathematische Frage ist jedenfalls geklärt. |
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| 29.07.2007, 15:37 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Ahh O.K. hatte ich überlesen. Thx.
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