Primzahlen

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19.01.2005, 17:42

Gast

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Primzahlen

Wieso hat eine Zahl, wenn sie bis zu ihrer Wurzel keine natürlichen Teiler hat, überhaupt keine natürlichen Teiler?

19.01.2005, 17:49

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RE: Primzahlen

Zitat:

Original von Gast
überhaupt keine natürlichen Teiler?

Du meinst außer 1 und n selbst !

Na nimm doch mal das Gegenteil an, dann kommst du zu einem Widerspruch (also indirekten Beweis führen).

19.01.2005, 17:52

Steve_FL

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Hm...überleg dir mal, was denn Teiler bedeutet.

Ein Teiler einer Zahl ist doch, wenn er mit anderen Teilern multipliziert die Zahl ergibt (Teiler sind natürliche Zahlen).

Sei nun X eine beliebige Zahl.

Dann ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} = x \end{eqnarray*}$
Wenn nun ein Teiler kleiner als $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ ist, dann muss er mit einem anderen Teiler grösser als $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ multipliziert x ergeben.

Beispiel:
X = 36
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x} = 6 \end{eqnarray*}$
Teiler: 4
4 * 9 = 36
4 < $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ < 9

Jedem Teiler < $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ entspricht ein Teiler > $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ und umgekehrt. Wenn es keinen Teiler gibt, der kleiner ist, dann auch keinen der Grösser ist.

Klar? Augenzwinkern