Faltung

13.06.2007, 16:44	Shadow86	Auf diesen Beitrag antworten »
Faltung Ich habe eine Aufgabe zur Dirichlet-Faltung: tau(n) ist die Teileranzahlfunktion i(n):=n my(n)=0, wenn n nicht quadratfrei ist = $\begin{eqnarray} (-1)^r \end{eqnarray}$ ,wenn $\begin{eqnarray} n=p_1...p_r \end{eqnarray}$ quadratfrei e(n):=1 phi(n) ist die Anzahl der natürlichen Zahlen kleiner als n, die prim zu n sind o(n):=1, wenn n=1; 0, wenn n>1 Ich soll nun prüfen, ob tauimy=ephie*o gilt. Ich würde sagen ja, bin mir aber überhaupt nicht sicher...
13.06.2007, 18:59	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Mal in etwas besser lesbarer Form: $\begin{eqnarray} \tau(n) \end{eqnarray}$ ist die Teileranzahlfunktion. $\begin{eqnarray} i(n):=n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mu(n) := \begin{cases} (-1)^r & \;\mbox{wenn}\; n=p_1\cdot\ldots\cdot p_r\;\mbox{quadratfrei}\\ 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e(n):=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \varphi(n) \end{eqnarray}$ ist die Anzahl der natürlichen Zahlen kleiner oder gleich $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ , die prim zu $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ sind. $\begin{eqnarray} o(n) := \begin{cases} 1 & \;\mbox{wenn}\; n=1\\ 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray}$ . Behauptung: $\begin{eqnarray} \tau i * \mu = e * \varphi * e * o \end{eqnarray}$ , wobei die Dirichletfaltung ist. Wenn du glaubst, dass es stimmt, musst du doch auch irgendwelche Ideen haben? Nutzen kann man hier vor allem, dass alle Funktionen $\begin{eqnarray} g:\;\mathbb{N}_+\to\mathbb{R} \end{eqnarray}$ (alternativ auch Wertebereich $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \end{eqnarray}$ ) mit $\begin{eqnarray} g(1)\neq 0 \end{eqnarray}$ bzgl. der Dirichletfaltung eine abelsche Gruppe bilden, und zwar mit neutralem Element $\begin{eqnarray} o \end{eqnarray}$ . Weitere dir vermutlich aus der Vorlesung bekannte Zusammenhänge sind: $\begin{eqnarray} \mu e = o,\qquad e * e = \tau,\qquad e * \varphi = i \end{eqnarray*}$ Richtig eingesetzt genügen die, um die Behauptung nachzuweisen.
13.06.2007, 20:52	Shadow86	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} ephi=i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} eo=e \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =>ephieo=ie=\sigma \end{eqnarray}$ ? Und auf der linken Seite, also tauimy ? Der nimmt bei mir \my nicht an. Was mache ich falsch (ja, ich hatte das latex bzw. /latex drum...)
13.06.2007, 21:01	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Da gibt's einen Zitatknopf über den Beiträgen, den könnte man ja mal drücken ... und dann sehen, dass es in LaTeX \mu statt \my heißt ... Zur Mathematik: Streng dich mal ein bisschen mehr mit dem Einsetzen an. Neue Funktionen wie $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ reinzubringen verkompliziert die Sache nur.
13.06.2007, 22:15	Shadow86	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, also da $\begin{eqnarray} e\varphi=i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} eo=e \end{eqnarray}$ dann kann man i rauskürzen und hat $\begin{eqnarray} \tau\mu=e \end{eqnarray*}$ ?
13.06.2007, 22:22	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Na ja doch: $\begin{eqnarray} \tau \mu = (e * e) * \mu = e * (e * \mu) = e * o = e \end{eqnarray*}$
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