partielle Integration

13.06.2007, 19:18

CocaCola

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partielle Integration

http://img504.imageshack.us/img504/4181/unbenanntdf2.jpg

Okay schön aber gut! aber ich hab ja nur ein f(t). Ich schätze, dass ich f(x) substituieren muss, damit ich es hier einsetzten kann und dieses veralgemeinere.

$\begin{eqnarray*} \int_a^b f(x)\cdot g'(x)\,\mathrm{d}x = [f(x)\cdot g(x)]_{a}^{b} - \int_a^b f'(x)\cdot g(x)\,\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

Kann mir jemand beim ersten Schritt helfen?

13.06.2007, 19:46

Dual Space

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RE: partielle Integration
In dem Hinweis steht was von Aufgabe 3. Kannst du uns die auch noch verraten?

13.06.2007, 19:56

CocaCola

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http://img153.imageshack.us/img153/9996/unbenannteg5.jpg

jedoch macht die nen freund und muss ich nicht bearbeiten, deshalb habe ich mich damit auch nicht befasst!

13.06.2007, 20:57

Orakel

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ich schlage vor, die aufgabe über vollständige induktion in verbindung mit partieller integration zu lösen. als integrationsanfang wähle man n=2, d.h. man muss zeigen

$\begin{eqnarray*} \int_0^t\int_0^\tau f(x)\ dx\ d\tau=\int_0^t(t-\tau)f(\tau)\ d\tau \end{eqnarray*}$ .

wir beginnen links. setze $\begin{eqnarray*} g(\tau)=\int_0^\tau f(x)\ dx \end{eqnarray*}$ . dann gilt

$\begin{eqnarray*} \int_0^t g(\tau)\ d\tau=\int_0^t 1\cdot g(\tau)\ d\tau=\tau g(\tau)\Big|_{\tau=0}^{\tau=t}-\int_0^t g'(\tau)\tau\ d\tau \end{eqnarray*}$

hier hab ich partiell integriert, mit $\begin{eqnarray*} u'(\tau)=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v(\tau)=g(\tau) \end{eqnarray*}$ . wertet man den randterm aus und beachtet, dass aus der definition von g folgt, dass $\begin{eqnarray*} g'(\tau)=f(\tau) \end{eqnarray*}$ gilt, so erhält man

$\begin{eqnarray*} \int_0^t\int_0^\tau f(x)\ dx\ d\tau=\int_0^t g(\tau)\ d\tau=t g(t)-\int_0^t f(\tau) \tau\ d\tau=\int_0^t(t-\tau)f(\tau)\ d\tau \end{eqnarray*}$ .

den rest der induktion überlasse ich (gerne) dir. smile

smile

13.06.2007, 21:36

CocaCola

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wenn man es sieht, versteht man es, sehr schade, dass ich es nicht geschafft habe!

induktionschritt n |->n+1

$\begin{eqnarray*} \int_0^t \int_0^r f(x) ~dx~dr= \int_0^t \frac{{(t-r)}^{n+1-1}}{(n+1-1)!}f(r)dr = \int_0^t \frac{{(t-r)}^{n}}{n!}f(r)dr \end{eqnarray*}$

habe folgendes gemacht, kommt aber nur mist raus

$\begin{eqnarray*} g(r)=\int_0^r f(x)~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_0^t g(r) dr = r(g(r)) |_{r=0}^{r=t} - \int_0^t g'(r)rdr \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =tg(t) - \int_0^t g'(r)rdr = tg(t)-g(t)t=0 \end{eqnarray*}$

hmmmmmmm

13.06.2007, 21:47

SilverBullet

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Hab auch mal eine Frage dazu :

Definiert hast du :

$\begin{eqnarray*} g(\tau)=\int_0^\tau f(x)\ dx \end{eqnarray*}$

Wieso ist denn

$\begin{eqnarray*} g'(\tau)=f(x) \end{eqnarray*}$ ?

es ist doch $\begin{eqnarray*} g'(\tau) = F'(\tau) - F'(0) \end{eqnarray*}$ oder nicht ?

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13.06.2007, 21:49

Dual Space

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Zitat:

Original von SilverBullet
Wieso ist denn

$\begin{eqnarray*} g'(\tau)=f(x) \end{eqnarray*}$ ?

Das hat Orakel nie Behauptet, sondern

Zitat:

Original von Orakel
...dass aus der definition von g folgt, dass $\begin{eqnarray*} g'(\tau)=f(\tau) \end{eqnarray*}$ gilt

Augenzwinkern

13.06.2007, 21:56

SilverBullet

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Ajo keine Ahnung was ich da wieder gelesen habe ^^

Also dann wäre das ja klar ^^ Danke

13.06.2007, 22:09

SilverBullet

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Hmm nee hab doch noch ein Problem es scheint mir doch nicht klar zu sein.

Verstehe einfach nicht warum

$\begin{eqnarray*} g'(\tau) = F'(\tau) - F'(0) = f(\tau) \end{eqnarray*}$

dazu müsste doch F'(0) = 0 sein aber davon kann man doch nicht ausgehen oder ?

13.06.2007, 22:14

Dual Space

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Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung!

13.06.2007, 22:18

Orakel

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@CocaCola: die allerletzte gleichungskette von dir ist falsch! nochmal drüber gehen!

P.S.: grüße an fanta! smile

smile

13.06.2007, 22:23

Orakel

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@SilverBullet:

ist F eine stammfunktion zu f, so gilt nach dem hauptsatz der differential- und integralrechnung:

$\begin{eqnarray*} F(t)-F(0)=\int_0^t f(x)\ dx \end{eqnarray*}$

differenzierst du diese gleichung, dann erhälst du

$\begin{eqnarray*} F'(t)=\frac{d}{dt}\int_0^t f(x)\ dx \end{eqnarray*}$ ,

da $\begin{eqnarray*} F(0) \end{eqnarray*}$ eine konstante ist. nach definition der stammfkt. gilt $\begin{eqnarray*} F'(t)=f(t) \end{eqnarray*}$ .

in meinen rechnungen oben habe ich $\begin{eqnarray*} g(t)=F(t)-F(0) \end{eqnarray*}$ gesetzt!

13.06.2007, 22:28

CocaCola

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$\begin{eqnarray*} t(g(t))- \int_0^t g'(r)rdr = t(g(t)) + r^2/2 * g'(r) |_0^t + \int_0^t g'(r)dr \end{eqnarray*}$

hmm weiter weiß ich auch nicht

grüße zurück Wink

Wink

13.06.2007, 22:35

Orakel

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dass du nicht weiterkommst liegt daran (wie ich jetzt gesehen habe), dass deine funktion g falsch ist.

du startest doch links mit n+1 maliger integration von f. jetzt kannst du nach IV die ersten n integrale ersetzen durch die behauptung (siehe aufgabenstellung).

jetzt musst du die funktion g erraten smile

smile

schreib dir das mal ganz genau auf!

13.06.2007, 22:38

SilverBullet

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Jo danke nochmal hab mir das zwar gedacht aber gleichzeitig bin ich mir den Variablen durcheinander gekommen sodass ich dachte \tau wäre auch nur irgend ein Wert sodass die Ableitung der Stammfunktion ebenfalls verschwindet ^^

13.06.2007, 22:40

CocaCola

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$\begin{eqnarray*} \int_0^s \int_0^t \int_0^r f(x) ~dx~dr~ds= \int_0^s \int_0^t(t-\tau)f(\tau)\ d\tau ~ds \end{eqnarray*}$

?????

13.06.2007, 22:48

SilverBullet

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Am anfang soll das Integral n+1 mal stehen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nach Induktionvorraussetzung gilt :

$\begin{eqnarray*} \int_0^{t_1} \int_0^{t_2} \int_0^{t_n} \int_0^{t_(n+1)} f(t) ~dt=\int_0^t \int_0^\tau \frac {(t-x)^{n-1}} {(n-1)!} f(x)~dx~d\tau \end{eqnarray*}$

Nun definiere ich :

$\begin{eqnarray*} g(\tau) = \int_0^\tau \frac {(t-x)^{n-1}} {(n-1)!} f(x)~dx \end{eqnarray*}$

Bis hierher müsste es richtig sein oder ?
Jetzt kommt der schwere teil darum will ich den Anfang erstmal stimmig haben ^^

14.06.2007, 16:30

Orakel

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so sollte das erstmal stimmen. nur weiter so! smile

smile

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