Bildmenge +transformieren |
| 13.06.2007, 19:30 | Mortang | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Bildmenge +transformieren ich hab hier folgende Aufgabe und weiss leider nicht was ich machen soll. 
Kann mir da bitte jemand weiterhelfen was zu tun ist?Durch die komplexe Funktion ist eine lineare Abbildung der z- Ebene in die w- Ebene gegeben. Bestimmen Sie die Bildmenge des 1. Quadranten der z- Ebene, indem Sie jeweils mindestens drei Punkte der positiven reellen Achse und der positiven imaginären Achse transformieren und daraus das Bild der Achsen sowie des gesamtem 1. Quadranten in der w- Ebene konstruieren! Danke Mortang 
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| 13.06.2007, 19:44 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Bildmenge +transformieren
Die Anleitung steht in der Aufgabe. Schnapp dir 3 Punkte auf jeder Achse und bilde die ab. Dann überlege, was das aussagt (Stichwort: Kreistreue). Grüße Abakus
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| 13.06.2007, 20:00 | Mortang | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Sorry, ich weiss leider garnicht was ich machen soll
Ich hab jetzt einfach 6 Werte in die Funktion eingesetzt und ausgerechnet. (1;2;3;1j;2j;3j) Hab die Punkte gezeichnet und sehe da das ich zwei Geraden hab. Wie funktioniert das jetzt mit dem transformieren? |
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| 13.06.2007, 20:14 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
OK, jetzt hast du 6 Punkte ausgewählt. Wohin werden die nun durch f abgebildet ? (du sollst ja eine Bildmenge bestimmen, dazu berechnest du zunächst nur 6 Bildpunkte). Grüße Abakus
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| 13.06.2007, 20:17 | Mortang | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die Punkte hatte ich berechnet mit f(z) und dann gezeichent, das sind die zwei Geraden die ich meinte. War ein bissle ungünstig ausgedrückt 
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| 13.06.2007, 20:28 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
OK, was kommt denn raus ? Da dein f eine gebrochen-lineare Funktion ist, bildet es Kreise (dazu zählen auch Geraden) wieder auf solche ab. Außerdem ist f stetig. Wenn du also die beiden Bildgeraden hast, hast du auch den Rand deines gesuchten Bildbereiches. (Ggf. musst du noch entscheiden, wo innen ist) Grüße Abakus
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| 13.06.2007, 20:35 | Mortang | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Als Ergebnisse hab ich f(1)=1+0,5i f(2)=4/5 f(3)=6/8 - i/8 f(i)= -11/10 + 7/10i f(2i)= -34/37 + 18/37i f(3i)= -69/82 + 35/82i Das versteh ich irgendwie nicht
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| 13.06.2007, 20:45 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
würde ich als weiteren interessanten Wert in Betracht ziehen. Was verstehst du nun genau nicht ? (hier wäre auch der Zeitpunkt, in deinem Skript über gebrochen-lineare Transformationen nachzulesen). Du sollst den Quadranten abbilden und die Bildmenge rauskriegen. Du weißt, wie der Rand des Quadranten abgebildet wird und das dies der Rand der gesuchten Bildmenge sein muss. Grüße Abakus
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| 13.06.2007, 21:12 | Mortang | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nen wirkliches Script hab ich leider nicht. Hab jedoch was gefunden, das mir sagt dass die neue Bildmenge ein Kreis ist der durch den Nullpunkt geht. Wie läuft das mit der zweiten Abbildung ab? Muss ich da meine Ergebnisse mit ^-1 rechen? Hab ich mal versucht aber das scheint nur wieder ne Gerade zu ergeben. |
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| 13.06.2007, 21:34 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Was meinst du jetzt mit einer zweiten Abbildung ? Grüße Abakus
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| 13.06.2007, 21:47 | Mortang | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich mein damit der Kreis der dabei rumkommen soll... Aber ich hab da grad was anderes gefunden was mir auch bei konstruieren des Kreises hilft, ich hoff das is das richtige. Also ich habe zuerst mit den errechneten Werten( f(1;2;3) ) die Gerade gezeichnet. Zu den Werten habe ich die konjugiert komplexen Werte gezeichnet. Dies ergibt eine neue Gerade. Dann habe ich einen Einheitskreis gezeichnet und mit den Schnittpunkten der zweiten Geraden und dem Nullpunkt einen Kreis konstruiert. Der neue Kreis soll meine transformierte Funktion von f(z) sein. Kann das hinkommen, oder bin ich da auf dem falschen Weg? Ich hab da ja jetzt nur die reelen Werte, die ich in f(z) einsetze, genutzt. |
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| 13.06.2007, 22:05 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ein Kreis und eine Abbildung sind etwas völlig verschiedenes.
Da sehe ich nicht, was du machst oder erreichen willst (ein Kreis ist keine Funktion usw.). Du solltest als nächsten Schritt die Bildkreise bzw. Bildgeraden berechnen, die von den jeweils 3 Bildpunkten gebildet werden. Grüße Abakus
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| 13.06.2007, 22:09 | Mortang | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wie kann ich die berechnen? |
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| 13.06.2007, 22:14 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
3 Punkte legen eindeutig einen Kreis fest. Wenn es eine Gerade ist, merkst du es daran, dass auf der Gerade durch 2 der Punkte auch der dritte liegt. Grüße Abakus
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| 13.06.2007, 22:35 | Mortang | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das weiss ich wohl. soll ich nun mit meinen drei Punkten ne Geradengelichung aufstellen? Und diese transformieren (^-1 ?)? |
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| 14.06.2007, 11:13 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Was meinst du mit transformieren (^-1) ? Am Besten trittst du mal einen Schritt zurück von den Rechnungen und machst dir zunächst den Lösungsweg klar. Wenn du weißt, was du warum machen musst, ist das Rechnen kein Problem mehr. - Dein f ist eine Funktion mit bestimmten Eigenschaften. Was du ausnutzen willst, ist die Eigenschaft "Kreistreue". Dies bedeutet, dass Kreise durch f wieder auf solche abgebildet werden (Geraden werden dabei als entartete Kreise dazu gezählt): - Dein f bildet den Rand des Quadranten auf den Rand deines Bildgebietes ab. Um das Bildgebiet zu bestimmen, reicht es also zu ermitteln, wohin der Rand des 1-sten Quadranten hin abgebildet wird. - Da Kreise durch 3 Punkte bereits eindeutig festgelegt sind, reicht es, für jede der beiden Begrenzungsgeraden des 1-sten Quadranten jeweils 3 Punkte mit f abzubilden. - Wohin der Quadrant abgebildet wurde, kannst du dann weiter ermitteln. Soweit ok ? Grüße Abakus
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| 14.06.2007, 11:45 | Mortang | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Sprich 3 Werte in die Funktion einsetzen und ausrechnen?
Die 3 Ergebnisse zeichnen und eine Gerade bzw. einen Kreis zeichnen? |
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| 14.06.2007, 13:34 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, richtig. Wenn du zB 2 sich schneidende Bildgeraden hast, ergeben sich dann 4 mögliche Gebiete. Welches die Lösung ist, musst du noch herausfinden. Wichtig finde ich jedenfalls, dass du erstmal weißt, wieso du genau welche Rechnungen durchführst. Grüße Abakus
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| 14.06.2007, 16:46 | Mortang | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
So hab mich nochmal ein bissle mit beschäftigt. Ich hoff was ich jetzt erzähl ist nicht falsch.
Wenn ich in meine Funktion nur reele Werte einsetze bekomme ich eine Gerade, denn der Nenner kann mit reelen Werten (1/3) Null werden. Für Werte die einen Imaginären Anteil haben kann der Nenner nicht Null werden, somit ergibt das Bild ein Kreis. Hab ich probiert haut auch hin. Ich habe nun eine Gerade und einen Kreis die sich schneiden. Der Kreis liegt mit dem Mittelpunkt im vierten (?) Quadranten (-Im,-Re). Die Gerade schneidet den Kreis ebenfalls im vierten Quadranten. (Siehe Skizze unten ) Der 1. Quadrant müsste nun rechts der Geraden und des Kreises abgebildet sein. Stimmt das soweit? *bittebitte* Wenn das soweit stimmt, noch zwei kleine Fragen dazu: Der rechte Winkel am Schnittpunkt von Gerade und Kreis müsste doch dann der Rechte Winkel von imaginär und reeler Achse sein, oder? Der Mittelpunkt des Kreises müsste in diesem Fall auf der geraden liegen? Gruß Mortang |
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| 14.06.2007, 21:38 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
An deiner Skizze fehlen zunächst die Achsenpfeile und die Skalierung (wäre gut, wenn du dir als Standard angewöhnst, das dranzuschreiben). Nun ist . Das liegt auf beiden abzubildenden Achsen, die beiden Bilder müssten sich also bei schneiden. Das tun sie nach deiner Skizze aber nicht, d.h. das kommt noch nicht hin. Ich würde zunächst die Werte für f(i), f(2i), usw. nochmal nachrechnen (vermutlich Rechenfehler ?), die Werte für die Gerade scheinen zu stimmen. Ich komme auf: usw. Die beiden Geraden schneiden sich also in 2 Punkten, einmal in 0 (der Bildpunkt ist ) und einmal im Unendlichen (der Bildpunkt ist ) Kommst du damit weiter ? Grüße Abakus
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| 14.06.2007, 21:52 | Mortang | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich habe hier den Begriff Skizze ziemlich gedehnt.
Ich hab das hier noch per Hand und ordentlich gemacht da passt das alles. f(0) = -2i wird auch von beiden Geraden geschnitten. Die Werte die Du noch ausgerechnet hast liegen auch auf den Geraden. Ich wollt nur mit der Skizze zeigen wo ich meine das der erste Quadrant abgebildet ist. Also rechts von den Geraden der Bereich, das mit den wüsten roten Strichen.
Kommt das hin? |
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| 14.06.2007, 21:57 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
OK, dann kommt das hin. Die Schraffierung würde ich direkt an der Geraden bzw. den Kreis anfangen lassen noch. Grüße Abakus
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| 14.06.2007, 22:19 | Mortang | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Jo wie gesagt üble Skizze.
Danke für die Hilfe, ich weiss es war nicht leicht mit mir.
so long Mortang |
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| 20.06.2007, 16:31 | sauer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
wärst du zur letzten vorlesung gekommen, wüsstest du wie das geht ;P |
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