Doppelintegral (Integrationsgrenzen)

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Maschbauer Auf diesen Beitrag antworten »
Doppelintegral (Integrationsgrenzen)
Hi!
Ich hab mich dazu erbarmt dieses Semester auch mal Mathe I zu schreiben und bin noch nicht so der Crack dadrin. Im Moment sitz ich an Doppelintegrale, die eig. zu lösen ja einfach sind, jedoch diese erstmal aufzustellen find ich rel. schwer.

Folgende Aufgabe gilt es zu lösen:

a) Skizze von und in einem Koordinatensys. mit

So, hab ich gemacht und das ist ein Quadrat, welches auf der Spitze steht (quasi eine Raute).

Schraffieren Sie die Menge G der Punkte (x,y) in der skizze für die gilt:


c) Berechnen Sie

So...
welche sinnvollen Integrationsgernzen wählt man dabei? Was ist überhaupt das Kriterium für die Wahl der Grenzen?

Wär super, wenn ihr helfen könntet.


Gruß
Der Maschbauer
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Doppelintegral (Integrationsgrenzen)
Du musst deine Integrationsgrenzen genau so wählen, dass dein Integrationsbereich (hier das auf der Spitze stehende Quadrat) genau beschrieben wird.

Hier könntest du zB x zwischen -2 und 2 wählen und die beiden Grenzen für y in Abhängigkeit von x ausdrücken.

Dazu könntest du den Integrationsbereich in 2 Teile aufteilen (-2 bis 0 und 0 bis 2; also jeweils eine Hälfte des Quadrats), um die Betragstriche loszuwerden.

Grüße Abakus smile
Maschbauer Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,
danke schonmal für deine Antwort.

Also, so richtig versteh ich's leider nicht. Das Quadrat ist auf der x-Achse im Bereich [-1,1] und auf der y-Achse [0,2].

Du meinst ich soll 2 Bereiche machen, also 2 Doppelintegrale aufstellen, wobei das eine Integral von [-2,0] und das andere von [0,2] geht. Nur ich kann mir irgendwie die Integrationsgrenzen des inneren Integrals nicht zusammenreimen.

Vielleicht kannst du mir da nochmal kurz helfen. Sind die Grenzen, die vorgegebenen Funktionen? d.h. f(x)=2-x und g(x)=x?

Gruß
der Maschbauer
Divergenz Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

wenn du dein x hast, weist du doch, dass y die Werte zwischen g(x) und f(x) durchlaufen soll. Also sind die Funktionswerte von g und f deine Grenzen für das innere Integral.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast es falsch verstanden. Im äußeren Integral gehst du mit x von -1 bis 1. Oder besser: teile das äußere Integral auf in zwei: einmal von -1 bis 0 und einmal von 0 bis 1. Markiere dir nun irgendein x zwischen -1 und 0 auf der x-Achse und ziehe eine senkrechte Linie durch dieses x (also quasi parallel zur y-Achse). Der Schnitt dieser Linie mit der Raute ist eine Strecke. Versuche nun, die Grenzen dieser Strecke (y-Werte) in Abhängigkeit von x zu finden. Das sind dann deine Grenzen im inneren Integral.
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast recht, das Quadrat erstreckt sich nur über x-Werte von -1 bis 1. Mal eine Skizze:



Diese Skizze wäre jetzt intensiv anzuschauen. Du integrierst nun im äußeren Integral (des Doppelintegrals) von -1 bis 0 und von 0 bis 1.

Wenn du das tust, wandert dein "Meßstrahl" parallel zur y-Achse über das Quadrat (technisch gesagt ist das Quadrat bzgl. der x-Achse projezierbar; das Quadrat wird also in senkrechte Streifen parallel zur y-Achse geschnitten). Um das innere Integral hinzuschreiben, musst du nur die Grenzen dieser Streifen angeben. Die lassen sich an der Zeichnung ablesen:

- im Bereich -1 bis 0 hast du die Grenzen: unten , oben (die Betragstriche hier aufgelöst)

- im Bereich 0 bis 1 hast du: unten , oben

Damit hast du:



Hilfreich ist für dich vielleicht ein Blick auf Cavalieris Prinzip.

Grüße Abakus smile
 
 
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich finde deine Antwort aus didaktischer Sicht nicht sehr gelungen, Abakus. Außerdem hätte ich mir meinen Beitrag so sparen können.
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Ich finde deine Antwort aus didaktischer Sicht nicht sehr gelungen, Abakus. Außerdem hätte ich mir meinen Beitrag so sparen können.


OK, Entschuldigung für die Überschneidung. Ich fand hier etwas mehr Ausführlichkeit sinnvoll und fand es zu schade, meinen Beitrag dann wieder zu löschen, als ich deinen gesehen habe.

Grüße Abakus smile
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, OK. Tanzen
Maschbauer Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Jungs, euch beiden erstmal Danke für eure Hilfe und ich muss sagen, dass ich Abakus seine Ausführung schon besser finde und für mich sehr viel besser verständlich.
Ich kannte mich mit den Integralen noch nicht wirklich aus, aber der Hinweis mit dem Messstrahl find ich TOP!

Also, danke euch beiden.

Gruß
Der Maschbauer
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