partielle ableitung im Ursprung

13.06.2007, 21:38	ucantseeme	Auf diesen Beitrag antworten »
partielle ableitung im Ursprung Hallo! Habe eine Frag bezüglich folgender Aufgabe: Beweisen Sie, dass die Funktion $\begin{eqnarray} g:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}, x\rightarrow \begin{cases} 0 & falls \quad x=0 \\ e^{-\frac{1}{\|\|x\|\|^2}} & sonst\end{cases} \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} C^\infty \end{eqnarray}$ liegt. Bestimmen sie alle höheren partiellen Ableitungen von g im Ursprung. Okay, alles klar soweit. Dann habe ich mir gedacht. Wenn ich die Funktion ja ableite, erhalte ich ja immer eine produkt aus einem Polynom und der oben erwähnten E-funktion... Diese ist ja als Komposition stetig diffbarer Funktion auf jeden Fall schon mal stetig in $\begin{eqnarray} R^n\backslash(0,....,0) \end{eqnarray}$ Dise E-funktion hier kann ich ja auch stetig fortsetzen und zu einer differenzierbaren Funktion fortsetzen. Aber bei dem Polynom hab ich jetzt das Problem, da ich ja die Exponenten der E-Fnktion partiell ableite.... Auch wenn ich n mal nach x_i ableite alles kein Problem...Wenn ich jetzt aber zuerst nach x_i und dann nach einem x_j ableiten will, dann habe ich das Problem wie ich das ganze zu einer differenzierbaren Funktion fortsetzen kann, weil die die erste Ableitung nach x_i lautet ja: $\begin{eqnarray} 2x_i^{-2}e^{-\frac{1}{\|\|x\|\|^2}} \end{eqnarray}$ und wenn ich jetzt mit der limis bildung arbeite für ein x_j und die anderen Komponenten 0 setze, dann ist ja mein x_i=0 im nenner und das funktioniert ja nicht.... Vielleicht habe ich auch grade nen GEdankenfehler... Vielen Dank für eure Hilfe schon mal
13.06.2007, 21:48	sqrt(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der Limesbildung hast du immer die Situation tolle Exponentialfunktion gegen blödes Polynom. Kennst du doch aus Analysis I.

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