Gaußsches Eliminationsverfahren |
| 13.06.2007, 19:48 | Gauß-Man | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Gaußsches Eliminationsverfahren Sorry, falls es seltsam formuliert ist, aber ich hab mir erst eben das Eliminationsverfahren für eine Klausur morgen beigebracht. 
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| 13.06.2007, 20:01 | sqrt(2) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du siehst es dann, wenn du auf Dreiecksform bist, vorher mittels Gauß nicht. (Es gibt noch Determinanten, aber das ist ein anderes Kapitel.) |
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| 13.06.2007, 20:05 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Man merkt es dann sofort, wenn man auf einen Widerspruch stößt: 2x - 3y = 11 4x - 6y = 16 ------------------ da kannst schon aufhören 
Oder man berechnet - wenn möglich (d.h. wenn so viele Gleichungen als Unbekannte vorhanden sind) - die Determinante aus den Koeffizienten der Unbekannten. Wenn diese Null ist, kann der Fall eintreten, dass es keine oder keine eindeutige Lösung gibt. mY+ |
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| 13.06.2007, 20:11 | Gauß-Man | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Alles klar, danke. |
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| 13.06.2007, 21:07 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@mythos Dabei eine Frage. Als ich meinen Lehrer heute nach der Determinante gefragt hatte, hat er mir zwar gezeigt, wie ich sie bestimmte - dabei kann man aber nur die linke Seite d. Gleichungen nehmen, da man immer eine nxn-Matrix braucht (und mit rechter Seite ist es eben nicht so). Die Lösbarkeit könnte man, so mein Lehrer, am "Rang" d. einzelnen Gleichungen bestimmen (ich hoffe es ist Rang und nicht "Rung", "Runk", "Rank" oder sonstwas) - ging aber nicht näher darauf ein (musste auch zur nächsten Stunde
)Könnte jmd. vllt. mal sagen, was denn nun stimmt und wie man nun schauen kann, ob es lösbar ist oder nicht? 
Danke 
air |
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| 13.06.2007, 21:13 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hinter einem Linearen Gleichungssystem Ax=b verbirgt sich eine Lineare Abbildung. Die Dimension ihres Bildraums ist ihr Rang. Mit der Determinate kann man nicht den Rang bestimmen, sondern nur sagen ob sie "vollen" Rang hat oder nicht. Ist die Determinante von 0 verschieden, so hat die Abbildung vollen Rang und zu jedem b findest Du ein x welches das LGS Ax=b löst. Ist die Determinante gleich 0, so kann das LGS unlösbar sein, oder Unendlich viele Lösungen haben. Wenn du eine Aufgabe postet, können wir ein Beispiel rechnen oder Du benutzt die Boardsuche. 
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| 13.06.2007, 21:19 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also, wenn ich die Det. bestimme (das war ja dann diese Regel, in der man, kurz und dumm gesagt, die Diagonalen von oben links nach unten rechts nimmt, die Werte darauf multipliziert und jedes "Diagonalenprodukt" addiert und dann das selbe mit d. Diagionalen von unten links nach oben rechts nur mit subtrahieren der Produkte), dann kann ich sagen: => lösbar => unlösbar / unendlich Lösungen Dann hatte mein Lehre also insoweit Unrecht, weil man mit der Det. sehr wohl die Lösbarkeit (wenn auch eingeschränkt) bestimmen kann? air Edit: Moment. Aber die Det. geht doch nur bei quadr. Matrizen? |
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| 13.06.2007, 21:20 | sqrt(2) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ein n-mal-n-Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn die Determinante ungleich 0 ist. Ist die Determinante gleich 0, gibt es die beiden Möglichkeiten, dass die Lösungsmenge einen affinen Unterraum aufspannt (es unendlich viele Lösungen gibt) oder, dass es gar keine Lösung gibt. Wenn man wissen will, was davon, muss man die sogenannten Nebendeterminanten bestimmen. (Google danach.) Der Rang einer Matrix macht auch eine Aussage über die Lösbarkeit der zugehörigen LGS, ist aber von dem Begriff der Determinante unabhängig. Insbesondere ist der Rang auch für nichtquadratische Matrizen definiert. Um den Rang zu bestimmen, verwendet man aber eigentlich immer Gauß, insofern war das eine ziemlich inhaltslose Aussage deines Lehrers. |
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| 13.06.2007, 21:24 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie im Edit eben, Det. kann man ja nur für quadr. Matrizen bestimmen. Aber ein LGS kann ja garkeine quadr. Koeffizientenmatrix besitzen, denn n Unbekannte bedeuten n Gleichungen, aber n+1 Reihen in der Matrix, oder? Und den Rang zu bestimmen ist ja fast sinnlos (in der Schule), denn dann ist man soweit, dass man auch kurz zu Ende rechnen kann und sehen würde, dass es nicht geht (z.B. 2 = 1 erhält o.ä.) air |
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| 13.06.2007, 21:28 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Eine LGS muss keine Quadratische Matrix haben. Aber warum sollten n Gleichungen n+1 Reihen geben?
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| 13.06.2007, 21:29 | sqrt(2) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wir sprechen da immer von der linken Seite des LGS. (Diese verstehen wir außerdem als lineare Abbildung, das macht die Sache eigentlich erst interessant.)
Ja. Außer, dass man 2 = 1 nicht erhalten würde, sondern höchstens etwas wie 0 = 1. |
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| 13.06.2007, 21:31 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Naja, die linken Seiten sind natürlich quadr. Aber mit rechter Seite eben (garantiert) nichtmehr. Aber ich kann doch wohl kaum die Det. der linken Seiten bestimmen und daran die Lösbarkeit erkennen, oder? Dann ist die rechte Seite ja garnicht einbezogen. air |
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| 13.06.2007, 21:32 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Air wer lesen kann, ist eindeutig im Vorteil!
Die Werte der rechten Seite sind dann unerheblich, wenn bereits feststeht, dass die gegenständliche Determinante von Null verschieden ist. mY+ |
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| 13.06.2007, 21:35 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
D.h., dass wenn ich nur die linken Seiten d. LGS nehme - als Koeff.matrix augeschrieben - kann ich davon die Det. bestimmen und so eine Aussage über die Lösbarkeit machen? Wenn ja, wunderts mich, warum mein Lehrer meinte, dass die Det. nicht hilft
air |
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| 13.06.2007, 21:37 | sqrt(2) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das "ist" der Grund, dass du auch nicht sagen kannst, wie viele Lösungen es gibt, sondern nur, dass es nicht genau eine ist. Der Punkt ist, dass diese linearen Abbildungen genau dann injektiv sind, wenn die Determinante 0 ist, d.h. es gibt nur dann, wenn es eine Lösung gibt, genau eine. Außerdem sind dann Injektivität und Surjektivität äquivalent, d.h. es gibt mit Sicherheit auch eine Lösung. Man betrachtet also die Bilder der Abbildung auf der linken Seite und damit sozusagen alle rechten Seiten auf einmal. |
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| 13.06.2007, 21:43 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sagen wir, sie sie hilft nicht allein. Wenn sie nämlich Null ist, muss man ja die zwei möglichen Fälle - unendlich viele Lösungen - keine Lösung untersuchen. Stichwort auch: Cramer'sche Regel. Dabei werden auch jene Determinanten berechnet, bei denen die Spalte der jeweiligen Unbekannten durch die Spalte der rechten Seite ersetzt wird! mY+ |
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| 13.06.2007, 21:44 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@sqrt2: Da kommt zwar mathematisch was rein, womit ich momentan nicht klarkomme, aber ich verstehe den Gedanken dahinter. Aber nur um es nocheinmal festzuhalten: Mit der Determinante der Koeff.matrix der linken Seiten des LGS kann ich zumindest sagen, ob das LGS genau eine Lösung hat, nämlich wenn sie ungleich 0 ist. Ob sie keine oder unendlich Lösungen hat ist für mich momentan sowieso uninteressant
Edit: @mythos Danke, werde danach mal suchen (gehört habe ich es schon).
air |
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| 13.06.2007, 21:46 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann passt's! Zieh' dir dennoch mal beizeiten den Cramer rein, er ist recht praktisch. mY+ |
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| 13.06.2007, 21:49 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hab ich grad eben auf wiki gelesen. Ist eig. sogar total einfach...aber wie es dort steht im Gegensatz zu Gauß etwas unpraktisch, da aufwendig. Aber immerhin interessant, wenn man nur eine Variable bestimmen will
Nein, ernsthaft .. gibt es Situationen, in denen Cramer doch vorteilhafter als Gauß wäre?air |
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| 13.06.2007, 21:52 | sqrt(2) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kaum. |
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| 13.06.2007, 21:54 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Und warum ist er dann "praktisch"
Interessant isses ja zumindest auf jeden Fall
air Edit: Naja, ich muss nun eh mal zu Bett. Morgen steht ne Lateinarbeit an
Bis morgen (früh
) ! |
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| 13.06.2007, 21:58 | sqrt(2) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Weiß ich nicht. Für Rechner wäre es dumm, ihn zu implementieren, und für Menschen kann ich mir höchstens vorstellen, dass man bei einfachen 3x3-Systemen etwas schneller ist, aber das ist eigentlich nur Übungssache. |
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| 13.06.2007, 21:59 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
In der Schule sind 3x3-System ja sogesehen garnicht so unselten. Werds mir jedenfalls mal merken
Naja, bin dann für heute mal weg (solange ich heute sagen kann
)air |
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