Auflösen einer Gleichung

14.06.2007, 17:16

neo200

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Auflösen einer Gleichung

Moin Leute,

ich kriege folgende Gleichungen einfach nicht nach den Unbekannten aufgelöst:

$\begin{eqnarray*} a+b\cdot tan\alpha= \frac{F}{A} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a\cdot tan\alpha -b= 0 \end{eqnarray*}$

Ich habe einmal nach a aufgelöst und dann in die andere Gleichung eingesetzt. Aber damit kam ich auch net weiter.

Rauskommen soll:

$\begin{eqnarray*} a= \frac{1}{1+tan^2\alpha} \cdot \frac{F}{A} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b= \frac{tan\alpha}{1+tan^2\alpha} \cdot \frac{F}{A} \end{eqnarray*}$

Kann mir jemand helfen?? verwirrt

verwirrt

14.06.2007, 17:26

Rare676

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Forme deine 2. Gleichung nach a um und setze es in die erste ein.
Dann klammerst du b aus und bringst den Term in der klammer auf einen nenner....danach sollte das allein können Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.06.2007, 17:39

neo200

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also:

$\begin{eqnarray*} a= \frac{b}{tan\alpha} \end{eqnarray*}$

in die 2.: $\begin{eqnarray*} \frac{b}{tan\alpha}+b\cdot tan\alpha =\frac{F}{A} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow b(\frac{1}{tan\alpha}+tan\alpha)= \frac{F}{A} \end{eqnarray*}$

...und wie teile ich jetzt durch die Klammer- also gibts da irgendwelche Tips?

14.06.2007, 17:39

Rare676

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wie gesagt: bringe den term in der klammer erst auf einen nenner. dann ist es ganz einfach.

14.06.2007, 17:41

neo200

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achja., ist mir gerade auch aufgefallen Freude

Freude

14.06.2007, 17:56

neo200

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$\begin{eqnarray*} b (\frac{1}{tan\alpha}+ \frac{tan^2\alpha}{tan\alpha})= \frac{F}{A} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow b= \frac{F}{A} \cdot \frac{tan\alpha}{1+tan^2\alpha} \end{eqnarray*}$

Klasse! Danke für die schnelle Hilfe

Mit den trigonometrischen Umformungen erhält man:

$\begin{eqnarray*} cos^2\alpha= \frac{1}{2} \cdot ( 1+ cos2\alpha) \end{eqnarray*}$

Hast du da auch ne Idee wie man dann darauf kommt?

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14.06.2007, 18:12

Rare676

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Wenn man was umformt??

14.06.2007, 18:19

neo200

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das steht da sozusagen als nächster schritt. Ich hab auch keine Ahnung wie die dadrauf kommen böse

böse

17.06.2007, 12:56

neo200

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Hat keiner ne Ahnung???

17.06.2007, 13:03

Rare676

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Aus welcher Formel soll sich das denn ergeben?? da fehlt sowohl das a, als auch das b in der Formel...

Du musst schon sagen, woraus sich das ergeben soll.

17.06.2007, 13:17

neo200

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Ah, ich habs gefunden!

$\begin{eqnarray*} cos^2x \end{eqnarray*}$ ist einfach so definiert!

Danke trotzdem Freude

Freude

Wieso können die das nicht einfach dazu schreiben, hrrr

17.06.2007, 16:16

AD

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Zitat:

Original von neo200
$\begin{eqnarray*} cos^2x \end{eqnarray*}$ ist einfach so definiert!

Definition scheint mir eine unpassende Bezeichnung für die Identität $\begin{eqnarray*} \cos^2(x)=\frac{1}{1+\tan^2(x)} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.06.2007, 17:31

outSchool

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Rechnen mit Matrizen
Hallo zusammen,
wieso immer so umständlich.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_{11}a_{21} & a_{12}a_{21} \\ a_{11}a_{21} & a_{11}a_{22} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{21}b_1 \\ a_{11}b_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ 0 & a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ a_{11}b_2 - a_{21}b_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ \frac{a_{11}b_2 - a_{21}b_1}{a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
_________________________________________________________

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & tan\alpha \\ tan\alpha & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{F}{A} \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} tan\alpha & tan^2\alpha \\ tan\alpha & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tan\alpha \cdot \frac{F}{A} \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt Zeile 1 - Zeile 2 und dann umstellen.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & tan\alpha \\ 0 & tan^2\alpha+1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{F}{A} \\ tan\alpha \cdot\frac{F}{A} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & tan\alpha \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{F}{A} \\ \frac{tan\alpha}{1+tan^2\alpha}\cdot\frac{F}{A} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die zweite Unbekannte wird genauso berechnet.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & tan\alpha \\ tan\alpha & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{F}{A} \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & tan\alpha \\ tan^2\alpha & -tan\alpha \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{F}{A} \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Addition beider Zeilen und umstellen.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1+tan^2\alpha & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{F}{A} \\ \frac{tan\alpha}{1+tan^2\alpha}\cdot\frac{F}{A} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{1}{1+tan^2\alpha} \cdot \frac{F}{A} \\ \frac{tan\alpha}{1+tan^2\alpha}\cdot\frac{F}{A} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

17.06.2007, 17:43

AD

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Zitat:

Original von outSchool
wieso immer so umständlich.

Möglicherweise stellt dir jetzt einer dieselbe Frage... smile

smile

17.06.2007, 17:50

outSchool

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@Arthur

das kann man auch mit der Cramerschen Regel machen, zeigt aber nicht, wie man darauf kommt. Es gibt eben viele Wege nach Rom, nur muss man auch ankommen.

17.06.2007, 18:10

AD

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Richtig - aber das ist nicht das, worauf ich angespielt habe: Natürlich kann man jedes 2x2-GLS mit Matrizen schreiben, Gaußverfahren und weiß der Teufel was ausführlich hinschreiben. Ist sicher auch richtig diese Systematik für jemand, der es sonst nicht sieht.

Schreibmäßig weniger aufwändig geht es aber auch mit dem von Rare676 beschriebenen Eliminationsverfahren, wo mathematisch am Ende auch nichts weiter dahintersteht als Gauß. Und damit ist neo200 auch angekommen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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