Offene und Abgeschlossene Menge

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Smarti Auf diesen Beitrag antworten »
Offene und Abgeschlossene Menge
Huhu!

Ich soll beweisen, dass die Menge abgeschlossen und offen ist.

Gut. Im Grunde sind das ja alle Zahlen zwischen 0 und 2, wobei die 2 eingeschlossen ist. Die 2 ist quasi der "Rand" und deshalb ist die Menge dort abgeschlossen. Da die 0 nicht in der Menge ist, findet man für jedes immer ein das kleiner ist als und näher an null liegt, deswegen is dort die Menge offen.

Jetzt stehe ich aber vor dem Problem das in Formeln zu fassen und den Beweis zu führen: Diese epsilon-Umgebungen..ich weiss nicht wie ich das Formulieren soll. Ich hatte mir auch schon überlegt mit z.b. der Komplementärmenge von 0, die ja abgeschlossen ist, zu arbeiten ..ich weiss leider nicht ob das dann formal korrekt ist.

danke für die Hilfe, Smarti!

edit: natürlich ist sie weder abgeschlossen noch offen...
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Offene und Abgeschlossene Menge
Du meinst, du sollst untersuchen, ob die Menge abgeschlossen oder offen ist ?

Die Frage hast du schon beantwortet, jetzt fehlt noch das exakte Aufschreiben.

Beachte: ist entweder offen (bzw. abgeschlossen) oder auch nicht; das sind Eigenschaften, die die Menge als Ganzes betreffen.

Grüße Abakus smile

EDIT: Text
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte mich schon sehr ueber die Aufgabenstellung gewundert Big Laugh

Du willst zeigen, dass M nicht abgeschlossen ist. Angenommen, M waere abgeschlossen. Dann muss offen sein. Nun gilt sicherlich . Betrachte fuer beliebiges . Genauer: Untersuche .


Gruss, therisen
Smarti Auf diesen Beitrag antworten »

Da liegt ja mein Problem: Keine Ahnung was ich da genau betrachten muss.

, dabei weiss ich ja bei der neuen Menge, dass 0 drin ist. Also für jedes epsilon was ich addiere, bin ich aus der Menge draussn...aber wie ich das aufschreibe weiss ich leider nicht.
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Mal anders gefragt: was sind die Häufungspunkte von ? Gibt es einen, der nicht zu gehört und wenn ja, was folgt daraus ?

Grüße Abakus smile
Smarti Auf diesen Beitrag antworten »

Hm Häufungspunkte sind in meinen Augen alel Punkte . Da aber 0 nicht drin ist, muss die Menge nach unten offen sein..

das is mir wie gesagt klar, aber so kann ich es doch nicht aufschreiben. Ich verliere immer 75% der Punkte dadurch, dass ich es nicht richtig hingeschrieben habe, also formal. Gott
 
 
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachte mal die Folge . Was muss für den Grenzwert gelten, wenn die Menge abgeschlossen wäre? Das ist es wohl auch, was Abakus meinte Augenzwinkern

Und die Terminologie "nach unten" offen gibt es nicht (vgl. Abakus' Beitrag)!


Gruß, therisen
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Smarti
Ich verliere immer 75% der Punkte dadurch, dass ich es nicht richtig hingeschrieben habe, also formal. Gott


Zeige mit der Definition des Randes, dass die Null ein Randpunkt deiner Menge ist. Da Null aber nicht zur Menge gehört, ist die Menge nicht abgeschlossen.
Smarti Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von therisen
Betrachte mal die Folge . Was muss für den Grenzwert gelten, wenn die Menge abgeschlossen wäre? Das ist es wohl auch, was Abakus meinte Augenzwinkern


Damit die Menge abgeschlossen ist, muss der Grenzwert der Folge in dieser Menge enthalten sein.

Kann ich das nun so schreiben:




Offensichtlich ist der obere Grenzwert für in der Menge enthalten, somit ist die Menge dort abgeschlossen.
Der untere Grenzwert 0 ist nicht in der Menge enthalten, aber alle Punkte die größer sind, also ist dort die Menge offen.

Würde das so formal hinhaun?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Smarti
somit ist die Menge dort abgeschlossen.


Wenn du noch ein einziges mal "dort abgeschlossen" oder "dort offen" schreibst, höre ich auf, dir zu helfen. Du wurdest jetzt zweimal darauf hingewiesen, dass es diese Formulierung nicht gibt.

Die Untersuchung ist Blödsinn! Allerdings zeigt , dass nicht abgeschlossen ist, da .

Jetzt musst du nur noch zeigen, dass die Menge auch nicht offen ist. Das geht mit der "rechten" Seite der Menge Augenzwinkern


Gruß, therisen
Smarti Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du damit, dass man sagen kann ist der größte Wert für die Menge oder was meinst du mit der "rechten Seite" der Menge?
Einen größeren Wert kann die Menge ja nicht erreichen und trivial würde ich sagen, das deswegen die Menge nicht offen ist.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, du kannst den gleichen Trick verwenden. Angenommen, M wäre offen. Dann ist abgeschlossen. Es gilt sicherlich . Betrachte die Folge .
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