Anzahl symmetrischer Bilinearformen

14.06.2007, 19:50

Hügel

Anzahl symmetrischer Bilinearformen

Hallo

Ich komme mal wieder mit einer Aufgabe nicht so ganz zurecht:

Zitat:

Sei K endlich und dim V = 3. Man bestimme die Anzahl der symmetrischen und schiefsymmetrischen id-Bilinearformen auf V.

Ich habe zuerst versucht, überhaupt erstmal eine Bilinearform darzustellen. Allerdings bekomme ich das gar nicht hin. unglücklich

Mein ersten Versuche: $\begin{eqnarray*} a,b,c \in K \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_1(v,w) = a(v_1+w_1) + b(v_2+w_2)+c(v_3+w_3) \end{eqnarray*}$ ist nicht bilinear
$\begin{eqnarray*} f_2(v,w) = a(v_1*w_1) + b(v_2*w_2)+c(v_3*w_3) \end{eqnarray*}$ ist für $\begin{eqnarray*} v_i * w_i \end{eqnarray*}$ überhaupt nicht definiert. Oder?! V ist ja nur eine additive abelsche Gruppe (laut unserer Definition)

$\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ bringt mich dabei auf die Frage, ob für $\begin{eqnarray*} v = (v_1, v_2, v_3) \in V \end{eqnarray*}$ überhaupt gilt $\begin{eqnarray*} v_i \in V \end{eqnarray*}$ (Geht ja gar nicht, denn die wären dann ja wieder dreidimensional.), oder $\begin{eqnarray*} v_i \in K \end{eqnarray*}$ (Würde passen, aber ist ja nicht so definiert. Oder doch?)
Oder kann man den Vektor v im Allgemeinen gar nicht in dieser Form schreiben, sondern nur im Fall $\begin{eqnarray*} V = K^n \end{eqnarray*}$ ?

Kann mir jemand bei der Aufgabe und/oder der Vektorraumfrage helfen?

16.06.2007, 16:05

Hügel

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Wenn ich mir jetzt eine Basis B von V wähle, dann kann ich ja die Gramsche Matrix schreiben.

$\begin{eqnarray*} G_B(f) = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Falls f (schief-)symmetrisch ist, ist auch G (schief-)symmetrisch.

Also muss im ersten Fall gelten:
$\begin{eqnarray*} G_B(f) = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die $\begin{eqnarray*} a_{ij} \end{eqnarray*}$ sind beliebig aus K, also habe ich $\begin{eqnarray*} |K|^6 \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten.

Bei b) müsste gelten:
$\begin{eqnarray*} G_B(f) = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ -a_{12} & a_{22} & -a_{23} \\ -a_{13} & -a_{23} & a_{33} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier müsste man wohl noch unterscheiden, ob char K = 2 gilt.

Allerdings komme ich auch hier in beiden Fällen auf 6 frei wählbare Einträge, also wieder auf $\begin{eqnarray*} |K|^6 \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten.

Das kann doch nicht sein, oder?

16.06.2007, 16:52

therisen

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Hallo,

so würde ich auch vorgehen. Der symmetrische Fall ist korrekt. Im schiefsymmetrischen Fall (char K != 2) sind die Elemente der Hauptdiagonale doch fix vorgegeben (nämlich alle 0).

Gruß, therisen

16.06.2007, 18:05

Hügel

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Ah, du hast natürlich Recht. Danke sehr.
An die Diagonale habe ich beim Transponieren überhaupt nicht gedacht.

Also gilt:
a) $\begin{eqnarray*} |K|^6 \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten, egal was char K ist.

b.1) $\begin{eqnarray*} char K = 2: |K|^6 \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten
b.2) $\begin{eqnarray*} char K \neq 2: |K|^3 \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten.

16.06.2007, 18:23

therisen

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Ja, so sehe ich das auch.

16.06.2007, 18:35

Hügel

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Sehr schön smile

Danke sehr.

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