Offenheit von GL(n,R)

14.06.2007, 21:22	ucantseeme	Auf diesen Beitrag antworten »
Offenheit von GL(n,R) Also, wir sollen die Offenheit von $\begin{eqnarray} GL(n,\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ mithilfe der geometrischen Reihe zeigen. Ich bräuchte nur mal nen Ansatz, was ich mir da basteln muss, dass ich da was sinnvolles zusammenbekomme. Danke.
14.06.2007, 21:46	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Offenheit von GL(n,R) Du müsstest zur Aufgabenstellung noch die beteiligten Räume und die Topologie nennen ? Was ist dieses $\begin{eqnarray} GL \end{eqnarray}$ (ich möchte ungerne vermuten) ? Grüße Abakus
14.06.2007, 21:48	Marcyman	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier mal eine grobe Anleitung. Falls dir das zu viele Tipps sind, lies nur den Anfang. Zeige zuerst: Ist $\begin{eqnarray} A \in GL(n,\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ und gilt \|\|A\|\| < 1 (bzgl. einer beliebigen Matrixnorm), dann ist auch I - A invertierbar und es ist $\begin{eqnarray} (I-A)^{-1} = \sum_{n=0}^{\infty}A^n \end{eqnarray}$ . Tipp zum eigentlichen Beweis: Sei $\begin{eqnarray} A_0 \in GL(n,\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ und sei A mit $\begin{eqnarray} \mid \mid A-A_0 \mid \mid< \epsilon \end{eqnarray}$ .Es ist zu zeigen, dass auch A invertierbar ist. Schreibe dazu A geschickt um, sodass sich obiger Hilfssatz anwenden lässt. Dafür muss man auch $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ geschickt wählen.
15.06.2007, 07:22	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Verlangt die Aufgabenstellung unbedingt, den Beweis mit der geometrischen Reihe zu führen, oder ist das nur als Tip gegeben? Denn ich finde eine alternative Lösung viel zweckmäßiger. Dazu betrachtet man die Determinantenfunktion $\begin{eqnarray} \det \end{eqnarray}$ auf dem Raum $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^{n \times n} \end{eqnarray}$ der $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -reihigen quadratischen Matrizen, der topologisch mit dem euklidischen $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^{n^2} \end{eqnarray}$ identifiziert wird: $\begin{eqnarray} \det: \ \ \mathbb{R}^{n \times n} \to \mathbb{R} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \det \end{eqnarray}$ ist ein Polynom in den Elementen der Matrix (siehe z.B. die Leibnizsche Formel) und damit stetig. Und die allgemeine lineare Gruppe ist nichts anderes als das Urbild der $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ -offenen Menge $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} \end{eqnarray}$ unter $\begin{eqnarray} \det \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \operatorname{GL}(n,\mathbb{R}) = {\det}^{-1}\left(\mathbb{R} \setminus \{ 0 \} \right) \end{eqnarray}$ Also ist $\begin{eqnarray} \operatorname{GL}(n,\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ offen in $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^{n \times n} \end{eqnarray}$ .
15.06.2007, 11:31	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
@Leopold: Dein Beweis ist hier OK (und eigentlich auch der einfachere Weg). Der mit der geometrischen Reihe lässt sich nun aber auch auf unendlich-dimensionale Räume ausweiten.

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