Tang.Einheitsvektor, Betrag von Krümmung/Kurvenlänge in R³

14.06.2007, 22:41	daniel2	Auf diesen Beitrag antworten »
Tang.Einheitsvektor, Betrag von Krümmung/Kurvenlänge in R³ Hallo, Ich hätte da mal wieder ein Poblem: die Berechnung von oben genanntem ist ja in R² kein Problem, aber wie siehts in R³ aus. Als Beispiel hab ich das hier: $\begin{eqnarray} \vec{r} (t)=\begin{pmatrix} 3t-5 \\ 4t+1 \\ t²\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Tangenteneinheitsvektor: $\begin{eqnarray} \frac{1}{\|\vec{R}(t)\|}\vec{R}(t) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \vec{R}(t)=\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 2t \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ =Ableitung von $\begin{eqnarray} \vec{r}(t) \end{eqnarray}$ , dadurch Tang.Einheitsvektor= $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{3²+4²+2²t²} } \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 2t \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ist das so in der Art richtig? Kann man bei Krümmung und Länge der Kurve so weiterrechnen (Ableitung oben richtig? oder wird der z-Wert 0 gesetzt?)? Hoffe, ihr könnt das so erkennen, ich komme mit dem Programm noch nicht ganz zurecht...
15.06.2007, 01:18	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Tangential-Einheitsvektor ist richtig.
15.06.2007, 21:29	daniel2	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr gut, ein Problem weniger
16.06.2007, 21:45	daniel2	Auf diesen Beitrag antworten »
...Und jetzt das nächste Problem (andere Aufgabe): Ich habe jetzt für die Länge einer Kurve das Integral $\begin{eqnarray} \int_{b}^{a}~\sqrt{5+x²}~dx \end{eqnarray}$ raus. Weiss jemand, wie man da die Stammfunktion bestimmt? Ich komme da irgendwie nicht weiter...
16.06.2007, 23:47	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Schau in die Additionstheoreme für die hyperbolischen Funktionen und substituiere $\begin{eqnarray} x = \sinh(t) \,\text{ oder }\; x = \cosh(t). \end{eqnarray}$ Eines von beiden wird klappen.

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