Dichte von Z:=X+Y

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larc0s Auf diesen Beitrag antworten »
Dichte von Z:=X+Y
Hi Leute!

Also, ich habe mal wieder ein Problem bei einer Aufgabe.
Wäre euch sehr dankbar wenn ihr mir weiter helfen könnt.

code:
1:
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5:
6:
Seien X und Y stochastisch unabhängige N(0, 1)-verteilte Zufallsvariablen. Man zeige, dass die Zufallsvariable 
Z := X +Y N(0, 2)-verteilt ist.

Hinweis: Man bestimme die Dichte f (z).


Also, soweit bin ich:
Ich weiß, dass ich die Dichte von Z über das Faltungsintegral berechnen kann, da die ich die Dichte von X und Y ja habe.
Da es sich um eine Normalverteilung dreht, ist die Verteilungsfunktion ja folgendermaßen definiert:
http://upload.wikimedia.org/math/7/b/5/7b5bb51e8cda9979b798538468423c3b.png

Wäre für X und Y dann:
http://upload.wikimedia.org/math/5/4/7/547f1caf13dccaaf0e45119421a15b45.png

Dies abgeleitet und ich habe meine Dichten. Faltungsintegral anwenden und ich habe die Dichte von Z. (hoffe bis hierhin ist es richtig)

So, aber wie kann ich jetzt, dass Z := X +Y N(0, 2)-verteilt ist?

Ich wäre euch dankbar für eure Hilfe.

Gruß,
larc0s
bil Auf diesen Beitrag antworten »

hi...
also die dichte der standardnormalverteilung, sprich die dichte von deinem X und Y ist:





dichten sind falsch, siehe arthurs beitrag

die dichte von Z lässt sich dann so bestimmen: (faltungsformel)



wenn man das ordentlich ausrechnet kann man sehen das ist und
auch falsch, siehe arthurs beitrag

vll solltest du dir noch die allgmeine darstellung der normalverteilung anschauen (bei wikipedia z.b).

also viel spass beim rechnenAugenzwinkern

gruss bil


edit: einige fehler markiert/verbessert
AD Auf diesen Beitrag antworten »

@bil

Bei den vielen Schreibfehlern hast du heute wohl deinen schlechten Tag... kann jedem passieren: Die Dichten der Standardnormalverteilungen sind





und wenn übliche Symbolik verwendet wird, ist noch ein Zahlendreher drin: Für die Summe ergibt sich mit und .
bil Auf diesen Beitrag antworten »

oh mann... geschockt
den fehler mit und hab ich wohl in der schnelle übersehen. aber das t in der standardnormalverteilung sollte mir normalerweise nicht passieren. Hammer

edit: sehe gerade das ich die dichten auch nicht richtig aufgeschrieben habe, ojeje... hätte ich mal nur die faltungsformel hingeschrieben, der rest war ja aus der aufgabe schon klar. manchmal ist weniger wohl wirklich mehrAugenzwinkern
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Hauptsächlich, weil mathematisch am verhängnisvollsten, fand ich aber vs. ...

Naja, wir brauchen alle unsere Wochenenderholung. smile
bil Auf diesen Beitrag antworten »

habs gerade erst gesehen. mich hat schon gewundert warum du nochmal die dichten explizit hinschreibst aber das war wirklich schlecht von mir.
 
 
larc0s Auf diesen Beitrag antworten »

Hi!

Erstmal danke für die Antworten.

Also, die Dichte von Z sollte ja eigentlich



sein, oder? (so berechnet wie die Dichte von X und Y)

Wenn ich aber Z mithilfe des Faltungsintegrals berechne, bekomme ich folgendes heraus:



Sind ja zwei unterschiedliche Dinge, oder?
Habe ich vielleicht was falsch gemacht?

Gruß,
larc0s

P.S.: Das nach dem e soll immer im Exponenten stehen, was aber schwer zu sehen ist.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von larc0s
Wenn ich aber Z mithilfe des Faltungsintegrals berechne, bekomme ich folgendes heraus:


Was ist hier denn Argument ... bitte vollständig schreiben:

oder , oder was sonst...

Jedenfalls ist verdächtig, dass du noch zwei Argumente ( und ) drin hast - wie kann denn das passieren? Die eine Variable (welche auch immer) muss doch wegintegriert werden?

Wie auch immer: Zeig mal deinen Rechenweg ein wenig ausführlicher!
larc0s Auf diesen Beitrag antworten »

So, nochmal gerechnet....hatte einiges fatal falsch. Zu meiner Rechnung:





So, nun komme ich leider nicht weiter.
Wie muss ich jetzt weiter vorgehen, um hierauf zu kommen?


Vielleicht steh ich gerade auch nur einfach voll auf dem Schlauch...
Aber danke schonmal für die bisherige Hilfe, und hoffentlich für die kommende smile

Gruß,
larc0s
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Das solltest du nochmal überarbeiten: Die binomische Formel



gilt auch in der Stochastik. Und außerdem:

larc0s Auf diesen Beitrag antworten »

Ach du grüne neune!!!!!
**** ka was das sollte....sorry..... Forum Kloppe

Nochmal:





Hoffe jetzt sind keine so be******* Patzer drin.

Gruß,
larc0s
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt stimmt's. Zur Berechnung des Integrals kann man sich eines Kniffs bedienen: Der Wert



dürfte bekannt sein, als Gesamtwahrscheinlichkeit der Standardnormalverteilung. Jetzt kann man doch mal das einer linearen Substitution mit unterziehen und erhält sowie

,

bzw. umgestellt

.

Jetzt musst du nur noch passend wählen...
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