Lineares Gleichungssystem

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20.01.2005, 00:30	economic	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineares Gleichungssystem Hi Leute, ich bin noch ganz am Anfang meiner Klausurvorbereitung und brauche ein wenig Hilfe. Hoffe, ihr seid so nett. Aufgabe: Für welche Parameter $\begin{eqnarray} t\in \mathbb R \end{eqnarray}$ besitzt das folgende lineare Gleichungssystem Lösungen? $\begin{eqnarray} 2x+ 3y+ z+2u=3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4x+ 6y+ 3z+4u=5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 6x+ 9y+ 5z+6u=7 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 8x+12y+7z+tu=9 \end{eqnarray}$ ich bekomme $\begin{eqnarray} z=-1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} u(t-8)=0 \end{eqnarray}$ also weiter mit Fall 1: $\begin{eqnarray} t\neq 8 \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} u=0 \end{eqnarray}$ (soweit komme ich noch mit vagen Erinnerungen aus der Schulzeit ) dann krige ich noch $\begin{eqnarray} x=-\frac{3}{2}y \end{eqnarray}$ Meine Frage: Wie formuliere ich daraus jetzt einen Lösungsraum? Ich habe leider nur die Lösungen zu den Aufgaben, und weiss nicht genau, wie ich auf die Gerade im $\begin{eqnarray} \mathbb R^4 \end{eqnarray}$ komme, die beim 1. Fall rauskommen soll. Danke schonmal für die Tipps. Grüße, eco
20.01.2005, 00:42	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
du wendest zunächst gaussalgorithmus an... wenn du nur zeigen sollst, für welche t das LGS lösbar ist, dann musst du nur schauen, für welche t so eine zeile in deiner matrix überbleibt (nach dem gaussalgorithmus): (0 0 0 0 \| a) mit a ungleich 0, denn dann wäre das ganze für diese t nicht lösbar. wenn du also t nachher nur in u(t-8)=0 behältst, so hast du für alle t eine Lösung (für t=8 eben sogar unendlich viele, aber damit auch eine lösung). im fall1, mit t!=8 hast du also feste werte für z und u, während x und y voneinander abhängen. dann setzt du beliebig einen der beiden vektoren mit einer variablen, den anderen entsprechend. z.b. y=t, x=(-3t)/2 Lösungsmenge kannst dann auf viele verschiedene arten angeben: $\begin{eqnarray} L=\left\{\begin{pmatrix} \frac{-3t}{2} \\ t \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \mid t \in \mathbb R \right\} \end{eqnarray}$ oder auch gerne so geschrieben: $\begin{eqnarray} L=\left\{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} \frac{-3}{2} \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\mid t \in \mathbb R \right\} \end{eqnarray}$ mfg jochen edit: für t=8 kannst du auch u als 4. komponente noch beliebig wählen, du kannst dann z.b. $\begin{eqnarray} s\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit s aus IR noch anfügen.... edit2: latexcode von edit verbessert
20.01.2005, 00:55	economic	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, danke schonmal. Die Lösung im Lösungsheft ist: $\begin{eqnarray} L_{1}=\{ \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -\frac{3}{2} \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \} \end{eqnarray}$ Komme da einfach nicht hin. Könntest du mir nochmal erklären auf welche Form genau das gleichungssystem durch den Gauss-Algorythmus gebracht werden soll, damit ich da was ablesen kann? Vielen dank!
20.01.2005, 00:56	economic	Auf diesen Beitrag antworten »
die lösung bezieht sich aber wie gesagt auf den fall t!=8 und u=0
20.01.2005, 01:11	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, also ich rechne nach und bekomme da (nach 5x verrechnen ) auch eine -2.... du musst allerdings fallunterscheidung machen.... du behältst nachdem du z=-1 erkannt hast folgendes vereinfachtes LGS für x,y,u: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 3 & 2 & \| & 4 \\ 0 & 0 & t-8 & \| & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ fall1: t<>8, dann kannst du wie oben u=0 folgern, dann bleibt 2x+3y=4, du ersetzt y durch t (oder lambda, egal) und errechnest x als: 2x=4-3t => x=2-3t/2 und da ist auch das plus 2 das sie in der lösung angeben.... fall2: t=8 darfst nicht ganz vergessen...... dann hast du diese matrix für x,y,u: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 3 & 2 & \| & 4 \\ 0 & 0 & 0 & \| & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ergibt 2x+3y+2u=4 hier musst (oder darfst) du 2 der unbekannten durch eine variable ersetzen, z.b. y=t, u=s 2x=4-3t-2s => x=2-3t/2-s mit entsprechender lösungsmenge..... was ich mit umformen und guggen, für welche t es nicht geht meinte war folgendes: deine matrix etwas verändert: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 3 & 2 & \| & 4 \\ 0 & 0 & t-8 & \| & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wäre eben für alle t außer 8 lösbar, siehst du das? aber mit lösbarkeit hast du keine probleme, bei dir variiert nur die dimension vom lösungsraum (1, bzw. bei t=8 2) mfg jochen edit: kleine fehler korrigiert
20.01.2005, 01:14	economic	Auf diesen Beitrag antworten »
Also man merkt: du bist mathematiker Aber habs verstanden, vielen dank!!!
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20.01.2005, 01:17	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
na also über das mit dem mathematiker denke ich nochmal nach gute nacht, jochen
20.01.2005, 09:30	economic	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt dachte ich gestern, mein Problem hätte sich gelöst und heute morgen stelle ich fest, dass ich doch nicht nochmal aufs Ergebnis komme. Also nochmal für den fall $\begin{eqnarray} t \neq 8 \end{eqnarray}$ : Es kommt zu der Gleichung: $\begin{eqnarray} 2x+3y-1=3 \end{eqnarray}$ Ich setze dann "irgendetwas" ein, um 2 verschiedene Vektoren zu erhalten. Bei $\begin{eqnarray} y=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z=-1 \end{eqnarray}$ erhalte ich $\begin{eqnarray} x=2 \end{eqnarray}$ , das ist verständlich. Also erster Vektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Aber wie zum Teufel komme ich auf $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -\frac{3}{2} \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ??? Diese Werte ergeben im Gleichungssystem für mich einfach keinen Sinn. $\begin{eqnarray} -2\frac{3}{2} +31+0=3 \end{eqnarray}$ ?!?! Ich weiss, ich stelle mich irgendwo einfach zu blöd an... aber ich sehs echt nicht Danke schonmal im Voraus. Grüße, eco
20.01.2005, 10:52	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, da muss der mathematiker wieder ran: 2x+3y-1=3 kannst du ja erst mal zu 2x+3y=4 vereinfachen. das hat unendlich viele lösungen, die du nicht einfach aufzählen kannst. du wählst darum für x (oder y) einen parameter der ganz IR durchlaufen da, deine lösung nennt ihn lambda, ich nenne ihn t. also y=t, und x ist dann (nachrechnen) 2-3t/2 und nimst hast du eine "spezielle lösung ohne t" (z.b. für t=0, kannst auch jeden beliebigen anderen wert einsetzen, aber eben einen festen wert): $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ aber das ist ja noch nicht alles..... denn t kann ja ganz IR durchlaufen, deswegen hängst du jetzt noch +t* entsprechender vektor an.... (dieser muss in der x-komponente -3/2 und in der y-komponente 1 haben, bei u und z jeweils 0, denn diese sind fest) und das sieht dann so aus: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} -\frac{3}{2} \\ 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ so kannst du, indem du t laufen lässt weitere lösungen bilden, okay? und deinen gesamten lösungsraum gibst du, indem du t ganz IR durchlaufen lässt, denn für alle diese t hast du eine eigenständige lösung. mfg jochen edit1: LaTeXCode
20.01.2005, 12:27	economic	Auf diesen Beitrag antworten »
gut, jetzt hab ichs. daaaaaanke, digga!

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