Übungsaufgabe mit ebene, punkt und geraden

15.06.2007, 16:45

TotalerMatheLoser

Auf diesen Beitrag antworten »

Übungsaufgabe mit ebene, punkt und geraden

huhu zusammen. weiß schon wieder nicht was ich falsch mache traurig

traurig

hier die aufgabe:
Durch die Punkte A(0/3/6), B(1/2/-6) und C(-9/-2/2) ist die Ebene E festgelegt. Außerdem sind der Punkt P(5/4/0) und die Gerade g g:vec x=(0/4/5)+t(-1/0/1) gegeben.
a)Bestimmen sie die gleichung der ebene e in normalenform
b) berechnen sie die koordinaten des schnittpunkts s der geraden mit der ebene e
c) weisen sie nach, dass der punkt p auf der geraden g liegt und berechnen sie die länge der strecke sp
d) berechnen sie den abstand des punktes p von der ebene e
e) berechnen sie die koordinaten des zu p symmetrischen punktes p bezüglich der ebene e

a) meine koordinatenform der geraden sieht folgendermaßen aus: g:vec x= (0/3/6)+lambda(1/-1/-12)+my(-9/-5/-4). jetzt hab ich das KP gebildet und krieg als normalenvec (4/-8/1) und für d=-18 raus, sodass meine Ebenengleichung so aussieht:4 x1 - 8 x2 + x3 = -18. wenn ich das jetzt aber anders rechne und zwei gleichungen aufstelle um x1,x2,x3 rauszukriegen dann kommt für x1=1, x2=1,625 und für x3=(-5/96) raus...was mach ich falsch?

15.06.2007, 17:12

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Übungsaufgabe mit ebene, punkt und geraden
$\begin{eqnarray*} A(0/3/6),~B(1/2/-6),~ C(-9/-2/2) \end{eqnarray*}$

Ebene der 3 Punkte

$\begin{eqnarray*} E:~\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\6 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}1 \\-1 \\ -12 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}-9 \\ -5 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Normalenvektor

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 \\-1 \\ -12 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-9 \\ -5 \\ -4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-56\\112 \\ -14 \end{pmatrix} = -14\cdot \begin{pmatrix}4\\-8 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4x_1 -8x_2+x_3 +d = 0 \Leftrightarrow d = -4x_1 + 8x_2-x_3 \end{eqnarray*}$

Nun muss noch A in der Ebene liegen:

$\begin{eqnarray*} d = -4\cdot (0) + 8 \cdot (3)-6 = 18 \end{eqnarray*}$

Sieht doch soweit ok aus. Was meinst du mit dem anderen Weg? verwirrt

verwirrt

Edit: Ergänzung

$\begin{eqnarray*} E:~4x_1 -8x_2+x_3 +18 = 0 \end{eqnarray*}$

15.06.2007, 17:19

TotalerMatheLoser

Auf diesen Beitrag antworten »

hab nen vorzeichenfehler gemacht Hammer

Hammer

15.06.2007, 17:27

TotalerMatheLoser

Auf diesen Beitrag antworten »

so bei b) setz ich doch einfach g in E ein und krieg dann für t=9 und als S=(-9/4/14) raus richtig soweit?

15.06.2007, 17:44

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

2 Möglichkeiten. Erstens Gleichsetzen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0 \\ 4\\ 5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\6 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}1 \\-1 \\ -12 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}-9 \\ -5 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zweitens Einsetzen:

$\begin{eqnarray*} 4x_1 -8x_2+x_3 +18 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4 \cdot (0-t) -8 \cdot (4+0\cdot t) + (5+t) +18 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -4\cdot t -32 + 5 + t +18 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -3t - 9 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t =-3 \end{eqnarray*}$

15.06.2007, 17:59

TotalerMatheLoser

Auf diesen Beitrag antworten »

+schäm+ schon wieder so ein dummer fehler traurig

traurig

bei c) setz ich den punkt p in das t von g ein und hab dann den punkt (-5/4/5) und die länge von 8,124 L.E. raus????

Anzeige

15.06.2007, 18:00

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Schreib bitte die Rechnung sauber mit dem Editor hin. Dann kann man sehen ob Fehler drin sind. Ich mag jetzt nicht jede Aufgabe für dich eintippen Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.06.2007, 18:14

TotalerMatheLoser

Auf diesen Beitrag antworten »

hm ok: g: $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -5 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(-5)^{2}+4^{2}+5^{2}} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sqrt{66} \end{eqnarray*}$ = 8,124 L.E.

15.06.2007, 18:32

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst einmal hättest Du den korrigierten S-Wert angeben können. $\begin{eqnarray*} S(3 /4 /2) \end{eqnarray*}$

Liegt $\begin{eqnarray*} P(5/4/0) \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} g:~\vec{x} = \begin{pmatrix}0 \\ 4\\ 5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ? Einsetzen und t bestimmen.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}5 \\ 4\\ 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0 \\ 4\\ 5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow t=-5 \end{eqnarray*}$ erfüllt alle Gleichungen. Länge von SP

$\begin{eqnarray*} ||\overrightarrow{PS}||_2 = \sqrt{(3-5)^2 + (4-4)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{4+ 0+4} = \sqrt{8} \end{eqnarray*}$

15.06.2007, 18:45

TotalerMatheLoser

Auf diesen Beitrag antworten »

ok jetzt versteh ich gar nichts mehr, also ich muss den punkt mit der geraden gleichsetzen, um einen schnittpunkt zu haben, ok, leuchtet mir ein, aber wieso nehm ich dann den schnittpunkt von der geraden und der ebene für die länge von SP??

15.06.2007, 18:50

TotalerMatheLoser

Auf diesen Beitrag antworten »

frage vergessen, habs geschnallt

15.06.2007, 18:58

TotalerMatheLoser

Auf diesen Beitrag antworten »

aber bei d und e weiß ich nix verwirrt

verwirrt

ich weiß noch, dass man bei einer geraden und einem punkt eine hilfsebene machen und so den schnittpunkt und den abstand ausrechnen könnte, aber nicht wie das bei einem punkt und einer ebene geht

15.06.2007, 19:57

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Zur d) Mal überlegen, was die Normalform einem alles sagt. Besonders, wenn Du den Normalenvektor noch normierst. (Hesse Normalform)

Zur e) p' sollte mit einem dem norm. Normalenvektor aus d) eigentlich leicht zu bestimmen sein. Eine Skizze könnte helfen.

16.06.2007, 17:15

TotalerMatheLoser

Auf diesen Beitrag antworten »

zu d) ok hnf kann man nehmen zur abstandsberechnung, ja. aber welche vektoren brauch ich denn?

d= $\begin{eqnarray*} \frac{\mid\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -8 \\ 1 \end{pmatrix}\mid} {\sqrt{4^2+(-8)^2+1^2} } \end{eqnarray*}$ ?

16.06.2007, 17:52

Poff

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Übungsaufgabe mit ebene, punkt und geraden
Ebene:

$\begin{eqnarray*} E:~4x_1 -8x_2+x_3 +18 = 0 \end{eqnarray*}$

HNF Ebene:

$\begin{eqnarray*} \frac {1}{\sqrt{(4^2+8^2+1^2)}}*(4x_1 -8x_2+x_3 +18) = 0 \end{eqnarray*}$

links den Punkt einsetzen ergibt rechts anstatt der 0 den Abstand.
(0 ergibts nur wenn der Punkt IN der Ebene liegt)

(HNF ist nichts anderes als die übliche Ebenengleichung komplett mit einem bestimmten Faktor durchmultipliziert. Sieht gewöhnlich schlimmer aus als es ist)

16.06.2007, 18:02

TotalerMatheLoser

Auf diesen Beitrag antworten »

huh? wieso kenn ich das denn so überhaupt nich? $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{4x^{2}+ (-8)x^{2}+1} } \cdot (4(5)-8(4)+0+18)=d \end{eqnarray*}$
dh.
$\begin{eqnarray*} d=\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ ?

16.06.2007, 18:13

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Freude

16.06.2007, 19:14

TotalerMatheLoser

Auf diesen Beitrag antworten »

verstehe trotzdem nicht was bei e) zu machen ist

16.06.2007, 19:15

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Welchen Abstand hat der gespiegelte Punkt von der Ebene? Hast Du mal eine Skizze gemacht?

16.06.2007, 19:20

TotalerMatheLoser

Auf diesen Beitrag antworten »

nein, weiß nicht wie man so eine zeichnung mit 3 achsen macht, haben wir nie gelernt -.-

16.06.2007, 19:21

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Brauchst du ja gar nicht....ganz normal einen Ebenenausschnitt skizzieren und dann einen Punkt P und den gespiegelten Punkt P'

16.06.2007, 20:06

TotalerMatheLoser

Auf diesen Beitrag antworten »

ja aber woran gespiegelt?? an der x achse? wenn ja würde der p' ja auf der geraden und einer achse liegen

16.06.2007, 20:13

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

P wird an der Ebene gespiegelt.

Es geht darum sich eine Vektorgleichung für den Vektor OP' aufzustellen.

Gruß Björn

16.06.2007, 20:29

TotalerMatheLoser

Auf diesen Beitrag antworten »

also hab jetzt ne zeichung, aber ne gleichung..kA...der p' liegt ja auf der geraden die den vierten quadranten halbieren würde...also...weiß nich wie ich das sagen soll +lach+

16.06.2007, 20:56

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab auf dem Rechner noch ne kleine Skizze gefunden...ich stell sie einfach mal rein...hier heisst der Punkt nur L statt P.

Versuche dir mal den Vektor OL' über einen anderen Weg, also über L und F, vorzustellen.

16.06.2007, 21:13

TotalerMatheLoser

Auf diesen Beitrag antworten »

ich versteh nich woher du diesen punkt O hast, aber egal...also der L' hat den selben abstand zur ebene wie der L zur ebene..ich muss das doch dann irgendie mit dem abstand den ich vorhin berechnet hab,ausrechnen können

16.06.2007, 21:36

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

O soll der Ursprung sein und der Vektor OL' ist der Ortsvektor zum Punkt L', der dann dieselben Koordinaten wie L' hat.

Über welche Vektoren kommst du denn von O zu L' ?
Und was entspricht hier einem Normalenvektor der Ebene ?

Denke auch mal an dieses normieren, worüber ich dir mal was geschrieben habe smile

smile

Gruß Björn

16.06.2007, 21:50

TotalerMatheLoser

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Allgemein kann man einen Vektor auch normieren, also auf die Länge 1 bringen, indem man ihn durch seinen Betrag dividiert.

hm..die strecke vom ursprung bis zu F is so weit wie die von F zu L bzw von F zu L'
wenn L also der schnittpunkt von geraden und ebene ist, müsst ich doch \sqrt{8} (was die länge des vektors vom schnittpunkt zum punkt war) was jetzt die strecke von F bis O gehen also \sqrt{8} plus die strecke von 0 zu L' ?

16.06.2007, 22:16

TotalerMatheLoser

Auf diesen Beitrag antworten »

kann es sein dass der punkt die koords (-1/4/4) hat???

16.06.2007, 23:25

Poff

Auf diesen Beitrag antworten »

d) berechnen sie den abstand des punktes p von der ebene e
e) berechnen sie die koordinaten des zu p symmetrischen punktes p bezüglich der ebene e

Den Abstand hast du ausgerechnet.
Die Entfernung bis zum Spiegelpunkt ist genau doppelt so groß.

Nach Verfahren FF wird der Spiegelpunkt zu P ausgerechnet indem erst der Lotfußpunkt F ermittelt wird und dann der Vektor F-P nochmal an F angehängt wird. Damit bist genau die Strecke PF auf der anderen Seite der Ebene gelandet, ohne dass du dazu die Streckenlänge hättest berechnen müssen.

Weil du hier schon weißt wie groß die Strecke zum Spiegelpunkt ist, kannst dir das Ermitteln des Lotfußpunktes sparen und den Spiegelpunkt direkt ausrechnen. Dazu musst nur den richtigen Richtvektor auf die Länge der Stecke bringen und dann zum Ausgangspunkt P hinzuaddieren.

Zitat:

Original von TotalerMatheLoser
kann es sein dass der punkt die koords (-1/4/4) hat???

wenn das richtig wäre müsste der Mittelpunkt zw. P und (-1/4/4) auf der Ebene liegen. Das kannst selbst prüfen.

16.06.2007, 23:33

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das stimmt leider nicht.

Ich versuchs nochmal anders zu erklären.

Es geht ja darum die Koordinaten des Punktes herauszubekommen.
Wie kommt man generell an die Koordinaten eines Punktes ?

Entweder durch eine entsprechende Vektorgleichung, indem man den Ortsvektor zum gesuchten Punkt über "Umwege", also andere bekannte Vektoren, darstellt. Oder eben wenn es um Schnittpunkte geht erhält man die Koordinaten natürlich auch durch Gleichsetzen und entsprechendes Lösen eines LGS.

Ich schildere hier mal 2 Möglichkeiten sich der Aufgabe zu nähern.

1)

Passend zur Skizze versucht man den Vektor OP' anders darzustellen.
Man fängt in O an, geht zu P und dann zu P'.
Die Frage ist jetzt wie man die Strecke von P zu P' durch einen bereits bekannten Vektor ausdrücken kann.
Den Weg von O zu P drückt man durch den Vektor OP aus und seine Koordinaten entsprechen somit einfach denen vom Punkt P selbst.
Die Strecke von P zu P' verläuft ja genau senkrecht zur Ebene. Die Richtung von P nach P' entspricht also einem Normalenvektor der Ebene.
Nun muss man einen solchen Normalenvektor aber erstmal auf die Länge 1 bringen, also normieren und zwar deshalb, damit man nachher auch noch den bereits berechneten Abstand ins Spiel bringen kann. Von P bis zur Ebene sind es ja wie oben berechnet 2/3 LE, also bis nach P' dann das doppelte, also 4/3 LE.
Wenn man also von P aus in Richtung eines normierten Normalenvektors der Länge 1 um 4/3 LE geht, gelangt man zum Punkt P'.
Jetzt muss man noch entscheiden in welche Richtung man gehen muss, also wie ein Normalenvektor orientiert sein muss, um zu P' zu gelangen, denn wenn man in die entgegengesetze Richtung geht kommt man ja nicht ans Ziel.
Da bei der Abstandsberechnung im Zähler etwas positives rauskam zeigt der gewählte Normalenvektor von der Ebene in Richtung des Punktes P, weshalb man die Orientierung ändern muss um andersrum von P durch dir Ebene zu P' zu gelangen. Das ist aber zugegebenermaßen etwas schwer vorzustellen.

2)

Dieser Weg ist vielleicht doch eher vorzuziehen, weil es nachher keine Probleme mit der Richtung eines Normalenvektors der Ebene gibt.

Bilde eine Gerade durch den Punkt P senkrecht zur Ebene E und schneide diese Gerade mit der Ebene. Dazu muss man den Geradenvektor in die Ebene einsetzen und nach dem Geradenparameter auflösen. Wenn du nachher den Wert für den Geradenparameter in die Geradengleichung einsetzt, würde man als Punkt den Durchstosspunkt von Ebene und Gerade erhalten. Nimmt man aber das Doppelte des Geradenparameters gelangt man automatisch zum Punkt P'.

Wenn es noch fragen gibt melde dich einfach.

Zur Kontrolle:

Ich erhalte $\begin{eqnarray*} P'(\frac{119}{27}/ \frac{140}{27}/ -\frac{4}{27}) \end{eqnarray*}$

Gruß Björn

17.06.2007, 14:37

TotalerMatheLoser

Auf diesen Beitrag antworten »

ok hab das auch raus, aber kannst du mir erklären wieso man das so macht?

17.06.2007, 14:39

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Geht die Frage an mich oder an Poff ?

Und wenn ich gemeint bin, meinst du meinen 1. oder 2. Lösungsvorschlag ?

17.06.2007, 14:53

TotalerMatheLoser

Auf diesen Beitrag antworten »

eigentlich an beide ^^ weil was ich hier zu machen hab hab ich nich verstanden

Zitat:

Dazu musst nur den richtigen Richtvektor auf die Länge der Stecke bringen und dann zum Ausgangspunkt P hinzuaddieren.

und an dich björn, mit deinem 2. lösungvorschlag. wieso mach ich das so?

17.06.2007, 15:07

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage "Warum mache ich das so?" ist schon sehr allgemein, es wäre schöner wenn du konkreter fragen würdest.

In meinen Vorschlägen habe ich ja auch schon relativ detailliert geantwortet.

Man könnte noch dazu schreiben dass der Punkt P' eben auf einer Geraden liegen muss, die durch P senkrecht zur Ebene verläuft. Das ist bei Spiegelungen eines Punktes an einer Ebene immer so.

Würde der Punkt nur in die Ebene projiziert werden, dann müsste man nur den Durchstoßpunkt berechnen. Es ginge dann darum den Punkt zu berechnen, den die Gerade und die Ebene gemeinsam haben und wenn man den Geradenvektor in die Koordinatenform der Ebene einsetzt löst man immer nach dem Geradenparameter (die Variable vor dem Richtungsvektor) auf. Wenn man eine bestimmte Zahl für den Geradenparameter einsetzt wird immer ein anderer Punkt der Geraden angesprochen.

Bei einer Spiegelung möchte ich aber nicht den gemeinsamen Punkt von Ebene und Gerade berechnen sondern ich muss ja noch etwas weiter auf der Geraden "wandern" um zu P' zu kommen....und zwar genau "doppelt so lang" wie von P zum Durchstoßpunkt F. Deshlab muss ich den Geradenparameter verdoppeln um zum gesuchten Punkt P' zu gelangen.

Ist das so verständlicher ?

Gruß Björn

17.06.2007, 15:22

TotalerMatheLoser

Auf diesen Beitrag antworten »

ja, danke. ich möcht jetzt nur nochma 2 fragen zu was anderem stellen, und zwar hab ich immernoch keine ahnung was ein ortsvektor is, ich mein ja der geht vom ursprung aus zu einem anderen punkt, aber wie berechne ich denn einen ortsvektor?

und 2) wie berechne ich den abstand von 2 windschiefen geraden? zb.:
$\begin{eqnarray*} g: \vec{x}= \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h : \vec{x}=\begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ -5 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?
hab die E: -3 x1 + 6 x2 - 6 x3 = -12
aber ich weiß nich welche punkte ich da für die HNF nehmen muss

edit: latex code korrigiert my = mu usw. usw.usw.

unglücklich

unglücklich

werner

17.06.2007, 15:29

TotalerMatheLoser

Auf diesen Beitrag antworten »

ach sch*** nochmal richtig jetzt g= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und h= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ -5 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

das is richtig, hab mich bei der anderen auch noch vertippt und er mochte mein my nicht

17.06.2007, 15:34

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du einen Ortsvektor zu einem Punkt berechnen willst musst du einfach dieselben Koordinaten des Punktes als Vektor untereinander schreiben.

Zur Berechnung des Abstandes d zweier windschiefer Geraden g:x=p+su und h:x=q+tv gilt

$\begin{eqnarray*} d=|(\vec{q}- \vec{p}) \cdot \vec{n_0}| \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} \vec{n_0}= \frac{1}{|\vec{u} \times \vec{v}|} \cdot \vec{u} \times \vec{v} \end{eqnarray*}$

17.06.2007, 15:53

TotalerMatheLoser

Auf diesen Beitrag antworten »

zum ortsvektor: also wenn ich jetzt den punkt (1;2;3) hab is mein ortsvektor(1/2/3)??

und bei dem abstand hab ich jetzt 7,72 L.E. raus. haut das hin?

17.06.2007, 17:02

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Ortsvektor: Ja

Zum Abstand: Nein

12 nächste Seite »

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »