Komplexe Zahlen - Einheitswurzel

20.01.2005, 00:54	geckolux	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Zahlen - Einheitswurzel hallo beisammen! Also folgendes ist meine Aufgabe: Bestimmen Sie in C alle Zahlen z, für die gilt: $\begin{eqnarray} a) z^{3}=1 ;<br /> b) z^{4}=1 ;<br /> c) z^{6}=1 \end{eqnarray}$ (Diese Zahlen heißen (3-te,4-te,6-te Einheitswurzeln) Zeigen Sie dass in jedem dieser Fälle eine zyklische Gruppe bilden und geben Sie jeweils alle Erzeuger der Gruppe an. Ist durch die einheitswurzel der Betrag von z irgendwie auf 1 beschränkt? Ich weiss leider gar nicht wie ich an diese Aufgabe rangehen soll,.. könnt ihr mir vielleicht einen kleinen Tipp geben?
20.01.2005, 06:50	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast prinzipiell zwei Möglichkeiten: 1. Du machst für die Einheitswurzel den Ansatz mit der Polardarstellung. Bei $\begin{eqnarray} z^3 = 1 \end{eqnarray}$ wäre das mit $\begin{eqnarray} z = \operatorname{e}^{\operatorname{i}t} \end{eqnarray}$ der Ansatz $\begin{eqnarray} \operatorname{e}^{3\operatorname{i}t} = 1 \end{eqnarray}$ Und jetzt mußt du nur noch die $\begin{eqnarray} 2\pi \operatorname{i} \end{eqnarray}$ - Periodizität beachten, d.h. diese Gleichung wird nicht nur wahr, wenn der Exponent 0 ist, sondern auch wenn er $\begin{eqnarray} \pm 2\pi \operatorname{i}, \pm 4\pi \operatorname{i}, \pm 6\pi \operatorname{i}, \pm 8\pi \operatorname{i}, \ldots \end{eqnarray}$ ist. Das sieht so aus, als hätte die Gleichung unendlich viele Lösungen. In Wirklichkeit fallen aber Lösungen zusammen ... 2. Du berechnest schlichtweg die Lösungen durch Faktorisierung der Polynome. Im Falle $\begin{eqnarray} z^3 = 1 \end{eqnarray}$ ginge das so: $\begin{eqnarray} z^3 = 1 \ \Leftrightarrow \ z^3 - 1 = 0 \ \Leftrightarrow \ (z-1)(z^2+z+1) = 0 \end{eqnarray}$ Und jetzt kannst du schon eine Nullstelle ablesen, und die weiteren Nullstellen bekommst du durch Lösen einer quadratischen Gleichung nach Schema F. Bei $\begin{eqnarray} z^4 = 1 \end{eqnarray}$ ist die Faktorisierung noch einfacher, und bei $\begin{eqnarray} z^6 = 1 \end{eqnarray}$ kannst du ja selbst einmal probieren, ob sie dir gelingt ...
20.01.2005, 12:37	ganymed	Auf diesen Beitrag antworten »
Das zweite wollte ich auch machen. Aber wann ist z-1=0? LG ganymed
20.01.2005, 12:39	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
für z=1
20.01.2005, 12:42	ganymed	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja danke aber z steht doch für x+iy wegen komplexen Zahlen LG ganymed
20.01.2005, 12:43	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
und 1 steht für 1+0i also hast du folgendes schönes problem zu lösen: x+iy - (1+i0)=0 x+iy = 1+i0 daraus folgt: x=1, y=0 => z=1
Anzeige

20.01.2005, 12:47	ganymed	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso bin davon ausgegangen, dass z^2=-1 ist. Also bin nicht darauf gekommen, dass ich Zahlen für x und y suchen soll. Danke LGganymed
20.01.2005, 14:53	geckolux	Auf diesen Beitrag antworten »
also dann lautet ja die Lösung zu a) {1} b) {-1 ; 1} c) {-1 ; 1} Doch kann mir jemand einen Tipp geben wie ich das mit der zyklischen Gruppe löse? danke, mfg gecko

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »