Offene/Abgeschlossene Teilmengen

15.06.2007, 17:14

Master

Offene/Abgeschlossene Teilmengen

"Man zeige, dass jede Teilmenge des metrischen Raums $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ (versehen mit der Betragsmatrix) sowohl offen als auch abgeschlossen ist. Tipp: Man zige zuerst, dass {n} für alle $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ offe ist."

Da verstehe ich irgendwie die Aufgabenstellung nicht. Die Betragsmetrik sollte ja $\begin{eqnarray*} d(x,y)=\mid x-y \mid \end{eqnarray*}$ sein, wenn ich mich nicht total irre. Aber was ist denn nun {n} in diesem zusammenhang? Und wie kann eine Menge offen und abgeschlossen zugleich sein, laut den Definitione die ich kenne, geht das gar nicht.

danke

15.06.2007, 19:44

sqrt(2)

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RE: Offene/Abgeschlossene Teilmengen

Zitat:

Original von Master
Die Betragsmetrik sollte ja $\begin{eqnarray*} d(x,y)=\mid x-y \mid \end{eqnarray*}$ sein, wenn ich mich nicht total irre.

Ja.

Zitat:

Original von Master
Aber was ist denn nun {n} in diesem zusammenhang?

Die Menge mit dem einzigen Element n.

Zitat:

Original von Master
Und wie kann eine Menge offen und abgeschlossen zugleich sein, laut den Definitione die ich kenne, geht das gar nicht.

Dann hast du diese Definitionen falsch verstanden.

15.06.2007, 23:56

mYthos

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***verschoben***

mY+

16.06.2007, 00:34

sqrt(2)

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Was soll die Topologie, die vor allem meistens in Analysis 2 so gebracht wird, in der Algebra?

zurückverschoben

16.06.2007, 01:00

Master

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Wenn n das einzige Element in der Menge ist, dann muss diese Menge doch abgeschlossen sein ...ich verstehe momentan nur Bahnhof und hab keine Ahnung was ich machen muss. Ein richtiger Schubs in die richtige Richtung würde mir viel bringe, denke ich Gott

16.06.2007, 01:10

therisen

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Zitat:

Original von Master
Wenn n das einzige Element in der Menge ist, dann muss diese Menge doch abgeschlossen sein

Wer behauptet denn etwas anderes? Wie sqrt(2) schon gesagt hat, Abgeschlossenheit schließt Offenheit nicht aus. Benutze die Definition von "offen", um diese zu zeigen.

Gruß, therisen

16.06.2007, 02:14

Master

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Zitat:

Original von gast233456
jhjhkhkhkhl

Genau den Hinweis hab ich gebraucht, danke! Augenzwinkern

Ok, für jedes $\begin{eqnarray*} x \in U \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ , sodass ejder Punkt $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ , dessen Abstand zu $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ kleiner ist als $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ , in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ liegt

Wenn cih mir das nun angucke und als x das n nenne, weil es das enizige Element ist was ich habe, dann finde ich kein $\begin{eqnarray*} y<\varepsilon \end{eqnarray*}$ ... es sei denn y darf nur aus den Natürlichen Zahlen sein, was ich bei der Definition aber nicht rauslesen kann.

edit: dann gäbe es ja nur die 0..aber das würde mit der Definioition einfach nicht hinhaun

16.06.2007, 11:27

therisen

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Nein, ordne deine Gedanken nochmal neu. Dazu eine paar Ideen:

Stell dir die natürlichen Zahlen auf der reellen Achse vor. Du greifst dort einen Punkt heraus und betrachtest ihn als einelementige Menge. Du musst jetzt deine Kugel $\begin{eqnarray*} B_{\varepsilon}(n) \end{eqnarray*}$ so klein machen, sodass $\begin{eqnarray*} B_{\varepsilon}(n)=\{n\} \end{eqnarray*}$ . Beachte, dass die Kugel nur natürliche Zahlen enthält.

Gruß, therisen

16.06.2007, 14:26

Master

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Achso. Läuft es darauf hinaus, dass es zwar keine natürlichen Zahlen in dieser UMgebung gibt, aber die Definition erfüllt ist, weil halt alle Zahlen kleiner epsilon untersucht werden, sie aber nur real sind?

Wenn dem so ist, ist es nicht von einer Menge auf viele zu schliessn einfach, solange die Mengen endlich sind? Vereinigung von 2 Mengen haben dieselben Eigenschaften die die beidne einzelnen Mengen vorweisen. Nur wie komme ich dann auf jede x-beliebige Teilmenge, die kann ja durchaus auch unendlich groß sein.

edit: natürlich werden nicht alle Zahlen untersucht, es gibt aber keine Zahlen ausser n in der Umgebung..

16.06.2007, 14:30

sqrt(2)

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Zitat:

Original von Master
Wenn dem so ist, ist es nicht von einer Menge auf viele zu schliessn einfach, solange die Mengen endlich sind?

Die Vereinigung beliebig vieler (auch unendlich vieler) offener Mengen ist auch offen.

16.06.2007, 14:51

Master

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Stimmt, das ist mir auch danach wieder eingefallen. Allerdings gilt es ja bei abgeschlossenen nicht immer, muss wohl aber Ausnahmen geben wie z.b. diese Aufgabe hier Augenzwinkern

Also rein von der Logik her, wenn ich alle natürlichen Zahlen nehme und sie als Menge zusammenfasse, dann kann ich keinen "Rand" definieren ...also muss es da wieder einen mathematischen Kniff geben, nehme ich an Gott

16.06.2007, 15:20

therisen

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Eine Menge ist abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist. Das Komplement besteht hier aus abzählbar unendlich vielen einelementigen, offenen Mengen.

Gruß, therisen

16.06.2007, 15:30

Master

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Ok, dazu hätte ich noch eine Verständnisfrage:

Das Komplement ist doch $\begin{eqnarray*} ( \mathbb R \setminus\mathbb N) \end{eqnarray*}$ . Darf ich da direkt behaupten, dass die einzelnen Punkte offen sind?

16.06.2007, 15:35

therisen

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RE: Offene/Abgeschlossene Teilmengen

Zitat:

Original von Master
"Man zeige, dass jede Teilmenge des metrischen Raums $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$

Ich sehe nirgends etwas von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ stehen... Du etwa?

16.06.2007, 15:37

Master

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Siehste, danke Augenzwinkern

Solche Sachen verpeil ich dann immer unglücklich