Diskrete Fouriertransformation

15.06.2007, 17:27

Fletcher

Diskrete Fouriertransformation

Guten Tag,

ich sitze hier gerade vor Aufgaben zur diskreten Fouriertransformation, wir behandeln das ganze in Lineare Algebra II, jedoch glaub ich, dass es besser hier her passt oder? Naja leider kann ich mir unter diesem Problemkreis recht wenig vorstellen und soll nun zwei Aufgaben dazu lösen. Es wäre echt nett von euch, wenn ihr mir erstmal kurz schildert um was es da genau geht. Also prinzipiel ist doch die Idee, irgendwelche Funktionen durch sin- und cos- funktionen darzustellen oder? aber wie macht man das?

1) Man berechne die komplexe Fourier-Reihe
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}~\alpha_k e^{ikx} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha_k=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}~f(x)e^{-ikx}~dx \end{eqnarray*}$ der periodischen Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x)= \left\{\begin{array}{l}x(\pi-x) ,\;0 \leq x < \pi \\x(\pi+x) ,\;-\pi \leq x < 0 \end{array}\right.f(x+2\pi)=f(x)\;sonst \end{eqnarray*}$

2) Man setze die folgende Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\pi / 4 - x / 2 \; \; x \in (0,\pi) \end{eqnarray*}$ geeignet fort für eine Entwicklung in a)Sinusfunktionen und b) Kosinusfunktionen und gebe die entsprechenden Reihenentwicklungen an. Dabei sie die Periodenlänge möglichst klein gewählt.

Vielen dank

15.06.2007, 19:47

sqrt(2)

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RE: Diskrete Fouriertransformation

Zitat:

Original von Fletcher
ich sitze hier gerade vor Aufgaben zur diskreten Fouriertransformation,

Nein, das ist eine Aufgabe zu Fourierreihen. DFT ist was anderes.

Zitat:

Original von Fletcher
Also prinzipiel ist doch die Idee, irgendwelche Funktionen durch sin- und cos- funktionen darzustellen oder? aber wie macht man das?

Das steht doch in der Aufgabenstellung. Eine schöne Herleitung findest du hier.

15.06.2007, 22:56

Fletcher

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Hmm okay,
ich schaue mir das mal an, sollte man damit die Aufgaben hinbekommen?

15.06.2007, 23:22

sqrt(2)

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Würde ich schon sagen, ja.

16.06.2007, 16:58

Fletcher

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RE: Diskrete Fouriertransformation
Ich habe mir das nun durchgelesen und habe bisher zur 2) mir folgendes überlegt:

a)

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}+ \sum_{n=0}^{\infty}~a_n sin(nx) \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi}~\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}sin(nx)~dx \end{eqnarray*}$

Analog geht die b) mit Kosinus. Bin ich da auf der richtigen Pferde? Jetzt muss man ja eigentlich nur integrieren um a_n zu bestimmen, einsetzen und fertig oder?

Bei der 1) hilft mir die Seite leider nicht so gut weiter, mit komplexen Zahlen stehe ich da total auf den Schlauch.

16.06.2007, 18:14

Dual Space

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RE: Diskrete Fouriertransformation

Zitat:

Original von Fletcher
Bin ich da auf der richtigen Pferde?

[klugscheißern]
http://www.redensarten-index.de/suche.ph...egriff=f%E4hrte Lehrer

[/klugscheißern]

16.06.2007, 19:35

sqrt(2)

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RE: Diskrete Fouriertransformation

Zitat:

Original von Fletcher
Ich habe mir das nun durchgelesen und habe bisher zur 2) mir folgendes überlegt:

Besonders viel Sinn ergibt das nicht. Du solltest mit der ersten Aufgabe anfangen.

Zitat:

Original von Fletcher
Bei der 1) hilft mir die Seite leider nicht so gut weiter,

Da steht doch schon alles in der Aufgabenstellung.

Zitat:

Original von Fletcher
mit komplexen Zahlen stehe ich da total auf den Schlauch.

$\begin{eqnarray*} \int e^{\mathrm i x}~\dx=-\mathrm i e^{\mathrm i x} \end{eqnarray*}$ , sonst ist alles wie gehabt.

18.06.2007, 19:58

Fletcher

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Heißt das, ich muss bei der 1) Aufgabe einfach die Funktion in das Integral einsetzen und dann integrieren um das a_n zu erhalten, dann steht ja die komplexe Fourierreihe schon da?

Warum ist denn mein Ansatz bei de 2) so falsch?

MfG

18.06.2007, 20:16

sqrt(2)

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Zitat:

Original von Fletcher
Heißt das, ich muss bei der 1) Aufgabe einfach die Funktion in das Integral einsetzen und dann integrieren um das a_n zu erhalten, dann steht ja die komplexe Fourierreihe schon da?

Im Prinzip ja.

Zitat:

Original von Fletcher
Warum ist denn mein Ansatz bei de 2) so falsch?

Weil dein Ansatz für f(x) schlicht und einfach falsch ist (in einer Fourierreihe treten neben einem konstanten Summanden nur die Summen aus Sinus- und Kosinusfunktionen auf) und weil du falsch in die Formel für die Koeffizienten eingesetzt hast. Außerdem musst du dir zunächst Gedanken darüber machen, wie du die Funktion fortsetzen sollst, damit du sie a) nur in eine Summe aus Sinusfunktionen, b) nur in eine Summe aus Kosinusfunktionen zerlegen kannst.

18.06.2007, 20:57

Fletcher

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RE: Diskrete Fouriertransformation
$\begin{eqnarray*} \int e^{-\mathrm ikx}~\dx=\frac{1}{k}\mathrm i e^{\mathrm i x} \end{eqnarray*}$

Ist das richtig integriert?

18.06.2007, 20:58

sqrt(2)

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Ja.

edit: Nein! (Ich hab nur auf den Vorfaktor geschaut...) Richtig ist

$\begin{eqnarray*} \int e^{-\mathrm i k x}~\dx = \frac{1}{k}\mathrm i e^{-\mathrm i k x} \end{eqnarray*}$

19.06.2007, 12:57

Fletcher

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Hehe, ja das ist klar, habe mich da nur etwas verwuschtelt, weil ich es von dir kopiert hatte.

19.06.2007, 13:11

Fletcher

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Zur Lösung brauche ich doch eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} x^2e^{-ikx} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das integriere und deine Regel beachte bekomme ich folgendes:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k}x^2ie^{-ikx}+\frac{2}{k^2}e^{-ikx}+\frac{2}{k^3}ie^{-ikx} \end{eqnarray*}$

wobei i die imaginäre Einheit ist. Kann das so stimmen? i^2 wurde immer durch -1 ersetzt

Selbst wenn das jetzt stimmen sollte, macht das Einsetzen Probleme, wie kann man den diesen Term $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^2}e^{-ikx} \end{eqnarray*}$ in den Grenzen Null bzw. -Pi auswerten? Wie verrechnet sich dann, das i usw. kann mir das mal jemand als Beispiel vorführen? Danke

19.06.2007, 15:34

sqrt(2)

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Zitat:

Original von Fletcher
Wenn ich das integriere und deine Regel beachte bekomme ich folgendes:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k}x^2ie^{-ikx}+\frac{2}{k^2}e^{-ikx}+\frac{2}{k^3}ie^{-ikx} \end{eqnarray*}$

wobei i die imaginäre Einheit ist. Kann das so stimmen?

Du kannst sowas immer mit http://integrals.wolfram.com/ überprüfen.

Zitat:

Original von Fletcher
Selbst wenn das jetzt stimmen sollte, macht das Einsetzen Probleme, wie kann man den diesen Term $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^2}e^{-ikx} \end{eqnarray*}$ in den Grenzen Null bzw. -Pi auswerten?

$\begin{eqnarray*} e^{\mathrm i x}=\cos x + \mathrm i \cdot\sin x \end{eqnarray*}$

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